ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 199 Алимов — Подробные Ответы

(Устно.) Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:

1. y=0,3^-x;
2. y=(1/7)^-x;
3.  y=1,3^-2x;
4. y=0,7^-3x.

Выяснить, какой является функция — возрастающей или убывающей:

$y = 0,3^{-x} = \left( \frac{3}{10} \right)^{-x} = \left( \frac{10}{3} \right)^x = \left( 3 \frac{1}{3} \right)^x$;

$3 \frac{1}{3} > 1$, следовательно функция возрастает;

$y = \left( \frac{1}{7} \right)^{-x} = (7^{-1})^{-x} = 7^x$;

$7 > 1$, следовательно функция возрастает;

$y = 1,3^{-2x} = \left( \frac{13}{10} \right)^{-2x} = \left( \frac{10}{13} \right)^{2x}$;

$0 < \frac{10}{13} < 1$, следовательно функция убывает;

$y = 0,7^{-3x} = \left( \frac{7}{10} \right)^{-3x} = \left( \frac{10}{7} \right)^{3x} = \left( 1 \frac{3}{7} \right)^{3x}$;

$1 \frac{3}{7} > 1$, следовательно функция возрастает;

1) $y = 0,3^{-x} = \left( \frac{3}{10} \right)^{-x} = \left( \frac{10}{3} \right)^x = \left( 3 \frac{1}{3} \right)^x$

Шаг 1: Перепишем выражение. Функция дана в виде $0,3^{-x}$, что эквивалентно $\left( \frac{3}{10} \right)^{-x}$. Это можно преобразовать, используя свойства отрицательных степеней:

$$\left( \frac{3}{10} \right)^{-x} = \left( \frac{10}{3} \right)^x.$$

Теперь у нас есть функция $y = \left( \frac{10}{3} \right)^x$.

Шаг 2: Изучаем основание показательной функции. Основание функции $\frac{10}{3}$ больше 1:

$$\frac{10}{3} > 1.$$

Шаг 3: Вывод. Поскольку основание больше 1, функция $y = \left( \frac{10}{3} \right)^x$является возрастающей. Это означает, что при увеличении значения $x$ значение $y$ будет увеличиваться.

2) $y = \left( \frac{1}{7} \right)^{-x} = (7^{-1})^{-x} = 7^x$

Шаг 1: Перепишем выражение. Дана функция $y = \left( \frac{1}{7} \right)^{-x}$. Сначала применим свойства степеней для инверсии числа:

$$\left( \frac{1}{7} \right)^{-x} = 7^x.$$

Таким образом, мы получаем $y = 7^x$.

Шаг 2: Изучаем основание показательной функции. Основание функции $7$ больше 1:

$$7 > 1.$$

Шаг 3: Вывод. Поскольку основание больше 1, функция $y = 7^x$ является возрастающей. То есть, при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается.

3) $y = 1,3^{-2x} = \left( \frac{13}{10} \right)^{-2x} = \left( \frac{10}{13} \right)^{2x}$

Шаг 1: Перепишем выражение. Дана функция $y = 1,3^{-2x}$. Мы можем переписать её следующим образом:

$$1,3^{-2x} = \left( \frac{13}{10} \right)^{-2x} = \left( \frac{10}{13} \right)^{2x}.$$

Теперь у нас есть функция $y = \left( \frac{10}{13} \right)^{2x}$.

Шаг 2: Изучаем основание показательной функции. Основание $\frac{10}{13}$ меньше 1:

$$0 < \frac{10}{13} < 1.$$

Шаг 3: Вывод. Поскольку основание $\frac{10}{13}$ меньше 1, то функция $y = \left( \frac{10}{13} \right)^{2x}$является убывающей. При увеличении значения $x$ значение $y$ будет уменьшаться.

4) $y = 0,7^{-3x} = \left( \frac{7}{10} \right)^{-3x} = \left( \frac{10}{7} \right)^{3x} = \left( 1 \frac{3}{7} \right)^{3x}$

Шаг 1: Перепишем выражение. Дана функция $y = 0,7^{-3x}$. Преобразуем её, используя свойства степеней:

$$0,7^{-3x} = \left( \frac{7}{10} \right)^{-3x} = \left( \frac{10}{7} \right)^{3x}.$$

Теперь у нас есть функция $y = \left( \frac{10}{7} \right)^{3x}$.

Шаг 2: Изучаем основание показательной функции. Основание $\frac{10}{7}$ больше 1:

$$\frac{10}{7} > 1.$$

Шаг 3: Вывод. Поскольку основание больше 1, функция $y = \left( \frac{10}{7} \right)^{3x}$является возрастающей. Это значит, что при увеличении значения $x$ значение $y$ будет увеличиваться.