ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 192 Алимов — Подробные Ответы

1. y=3x;
2. y=(1/3)x.

1)

$$y = 3^x;$$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y > 0$ 

  ;

• Функция возрастает, так как
  $3 > 1$ 

  ;

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & 1 & 3 & 9 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

2)

$$y = \left(\frac{1}{3}\right)^x;$$

• Область определения:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  ;

• Множество значений:
  $y > 0$ 

  ;

• Функция убывает, так как
  $0 < \frac{1}{3} < 1$ 

  ;

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y & 9 & 3 & 1 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

Часть 1. Функция

$y = 3^x$

1. Определение функции

Функция задана в показательной форме:

$$y = 3^x$$

Здесь:

• Основание степени:
  $3$ 

  (положительное число, больше 1).

• Переменная:
  $x$ 

  (в степени).

2. Область определения

Область определения функции — все возможные значения переменной

$x$

.
Показательная функция определена для всех действительных чисел, значит:

$$x \in \mathbb{R}$$

3. Множество значений

Функция

$y = 3^x$

принимает только положительные значения, потому что:

• Основание
  $3$ 

  положительно.

• Возведение положительного числа в любую степень не даёт отрицательных значений.

Таким образом, множество значений:

$$y > 0$$

4. Поведение функции

Функция возрастает, так как основание степени больше 1 (

$3 > 1$

).
Это значит, что при увеличении

$x$

значения

$y$

тоже увеличиваются.

5. Таблица значений

Рассчитаем несколько значений функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 \\ \hline y = 3^x & 3^0 = 1 & 3^1 = 3 & 3^2 = 9 \\ \hline \end{array}$$

6. График функции

График функции — экспоненциальная кривая, проходящая через точку

$(0,1)$

и стремящаяся к нулю при

$x \to -\infty$

, но никогда его не достигающая.

Часть 2. Функция

$y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

1. Определение функции

Функция задана в показательной форме:

$$y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$$

Здесь:

• Основание степени:
  $\frac{1}{3}$ 

  (положительное число, меньше 1).

• Переменная:
  $x$ 

  (в степени).

2. Область определения

Показательная функция определена для всех действительных

$x$

, значит:

$$x \in \mathbb{R}$$

3. Множество значений

Так как основание положительное (

$\frac{1}{3} > 0$

), функция принимает только положительные значения:

$$y > 0$$

4. Поведение функции

Функция убывает, так как основание степени лежит в пределах

$0 < a < 1$

(

$\frac{1}{3} < 1$

).
Это значит, что при увеличении

$x$

значения

$y$

уменьшаются.

5. Таблица значений

Рассчитаем несколько значений функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 \\ \hline y = \left(\frac{1}{3}\right)^x & \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9 & \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3 & \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \\ \hline \end{array}$$

6. График функции

График — экспоненциальная кривая, убывающая слева направо, проходящая через точку

$(0,1)$

.

Выводы

1. Функция
   $y = 3^x$ 

   возрастает, так как $3 > 1$ 

   .

2. Функция
   $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ 

   убывает, так как $0 < \frac{1}{3} < 1$ 

   .

3. Обе функции определены на всей числовой прямой и принимают только положительные значения.
4. Их графики симметричны относительно оси
   $y$ 

   , так как $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ 

   можно представить как $y = 3^{-x}$ 

   , то есть отражение $y = 3^x$ 

   относительно оси $y$ 

   .