ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 191 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (x-2) +корень(x-6) < a;
2. 2x+ корень(a2-x2) > 0.

1)

$$\sqrt{x — 2} + \sqrt{x — 6} < a;$$

$$x — 2 + 2\sqrt{(x — 2)(x — 6)} + x — 6 < a^2;$$

$$2\sqrt{x^2 — 6x — 2x + 12} < a^2 — 2x + 8;$$

$$4(x^2 — 8x + 12) < a^4 — 2a^2x + 8a^2 — 2a^2x + 4x^2 — 16x + 8a^2 — 16x + 64;$$

$$4x^2 — 32x + 48 < a^4 — 4a^2x + 16a^2 — 32x + 4x^2 + 64;$$

$$4a^2x < a^4 + 16a^2 + 16;$$

$$x < \frac{a^4 + 16a^2 + 16}{4a^2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 2 \geq 0 \quad => \quad x \geq 2;$$

$$x — 6 \geq 0 \quad => \quad x \geq 6;$$

Левая часть возрастает при

$x \geq 6$

, найдем ее наименьшее значение:

$$\sqrt{6 — 2} + \sqrt{6 — 6} = \sqrt{4} + \sqrt{0} = 2;$$

Ответ: если

$a \leq 2$

, тогда решений нет;
если

$a > 2$

, тогда

$6 \leq x < \frac{a^4 + 16a^2 + 16}{4a^2}$

.

2)

$$2x + \sqrt{a^2 — x^2} > 0;$$

$$\sqrt{a^2 — x^2} > -2x;$$

$$a^2 — x^2 > 4x^2;$$

$$a^2 > 5x^2;$$

$$x^2 < \frac{a^2}{5};$$

$$-\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x < \frac{|a|}{\sqrt{5}};$$

Выражение имеет смысл при:

$$a^2 — x^2 \geq 0;$$

$$x^2 \leq a^2;$$

$$-|a| < x < |a| \quad (a \neq 0);$$

Неравенство всегда верно при:

$$-2x < 0;$$

$$x > 0;$$

Ответ: если

$a = 0$

, тогда решений нет;
если

$a \neq 0$

, тогда

$-\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x \leq |a|$

.

$$\boxed{ \begin{aligned} &\text{1) Если } a \leq 2, \text{ то решений нет; если } a > 2, \text{ то } 6 \leq x < \frac{a^4 + 16a^2 + 16}{4a^2}. \\ &\text{2) Если } a = 0, \text{ то решений нет; если } a \neq 0, \text{ то } -\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x \leq |a|. \end{aligned} }$$

Решение первой системы

Шаг 1: Запись неравенства

Дано неравенство:

$$\sqrt{x — 2} + \sqrt{x — 6} < a.$$

Шаг 2: Возведение в квадрат

Перенесем один из корней в правую часть:

$$\sqrt{x — 2} < a — \sqrt{x — 6}.$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(x — 2) < (a — \sqrt{x — 6})^2.$$

Раскроем скобки:

$$(x — 2) < a^2 — 2a\sqrt{x — 6} + (x — 6).$$

Переносим слагаемые:

$$4 < a^2 — 2a\sqrt{x — 6}.$$

Выразим корень:

$$2a\sqrt{x — 6} < a^2 — 4.$$

Делим на 2a:

$$\sqrt{x — 6} < \frac{a^2 — 4}{2a}.$$

Шаг 3: Возведение в квадрат снова

Возведем обе части в квадрат:

$$x — 6 < \left(\frac{a^2 — 4}{2a}\right)^2.$$

Решаем относительно

$x$

:

$$x < \frac{(a^2 — 4)^2}{4a^2} + 6.$$

Шаг 4: Область определения

Требуется, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

$$x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2.$$

$$x — 6 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 6.$$

Следовательно, учитываем, что

$x \geq 6$

.

Шаг 5: Анализ минимального значения

Функция

$f(x) = \sqrt{x — 2} + \sqrt{x — 6}$

возрастает при

$x \geq 6$

. Наименьшее значение:

$$f(6) = \sqrt{6 — 2} + \sqrt{6 — 6} = \sqrt{4} + 0 = 2.$$

Если

$a \leq 2$

, решений нет. Если

$a > 2$

, то:

$$6 \leq x < \frac{(a^2 — 4)^2}{4a^2} + 6.$$

Ответ:

• Если
  $a \leq 2$ 

  , решений нет.

• Если
  $a > 2$ 

  , то $6 \leq x < \frac{(a^2 — 4)^2}{4a^2} + 6$ 

  .

Решение второй системы

Шаг 1: Запись неравенства

Дано:

$$2x + \sqrt{a^2 — x^2} > 0.$$

Шаг 2: Выразим корень

Переносим

$2x$

в правую часть:

$$\sqrt{a^2 — x^2} > -2x.$$

Шаг 3: Возведение в квадрат

Возведем в квадрат:

$$a^2 — x^2 > 4x^2.$$

Переносим слагаемые:

$$a^2 > 5x^2.$$

Шаг 4: Выражение

$x$

Делим обе части на 5:

$$x^2 < \frac{a^2}{5}.$$

Извлекаем корень:

$$-\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x < \frac{|a|}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 5: Область определения

Корень существует, если

$$a^2 — x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq a^2.$$

Значит,

$-|a| \leq x \leq |a|.$

Шаг 6: Проверка знака

Неравенство всегда верно, если:

$$-2x < 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0.$$

Следовательно, выбираем положительные

$x$

:

$$0 < x < \frac{|a|}{\sqrt{5}}.$$

Если

$a = 0$

, решений нет. Если

$a \neq 0$

, то:

$$-\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x \leq |a|.$$

Ответ:

• Если
  $a = 0$ 

  , решений нет.

• Если
  $a \neq 0$ 

  , то $-\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x \leq |a|$ 

  .

Итоговый ответ

$$\boxed{ \begin{aligned} &\text{1) Если } a \leq 2, \text{ то решений нет; если } a > 2, \text{ то } 6 \leq x < \frac{(a^2 — 4)^2}{4a^2} + 6. \\ &\text{2) Если } a = 0, \text{ то решений нет; если } a \neq 0, \text{ то } -\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x \leq |a|. \end{aligned} }$$