ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 191 Алимов — Подробные Ответы

При различных значениях а решить неравенство:

1. корень (x-2) +корень(x-6) < a;
2. 2x+ корень(a2-x2) > 0.

1)$$\sqrt{x — 2} + \sqrt{x — 6} < a;$$

$$x — 2 + 2\sqrt{(x — 2)(x — 6)} + x — 6 < a^2;$$

$$2\sqrt{x^2 — 6x — 2x + 12} < a^2 — 2x + 8;$$

$$4(x^2 — 8x + 12) < a^4 — 2a^2x + 8a^2 — 2a^2x + 4x^2 — 16x + 8a^2 — 16x + 64;$$

$$4x^2 — 32x + 48 < a^4 — 4a^2x + 16a^2 — 32x + 4x^2 + 64;$$

$$4a^2x < a^4 + 16a^2 + 16;$$

$$x < \frac{a^4 + 16a^2 + 16}{4a^2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 2 \geq 0 \quad => \quad x \geq 2;$$

$$x — 6 \geq 0 \quad => \quad x \geq 6;$$

Левая часть возрастает при $x \geq 6$, найдем ее наименьшее значение:

$$\sqrt{6 — 2} + \sqrt{6 — 6} = \sqrt{4} + \sqrt{0} = 2;$$

Ответ: если $a \leq 2$, тогда решений нет; если $a > 2$, тогда $6 \leq x < \frac{a^4 + 16a^2 + 16}{4a^2}$

2)$$2x + \sqrt{a^2 — x^2} > 0;$$

$$\sqrt{a^2 — x^2} > -2x;$$

$$a^2 — x^2 > 4x^2;$$

$$a^2 > 5x^2;$$

$$x^2 < \frac{a^2}{5};$$

$$-\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x < \frac{|a|}{\sqrt{5}};$$

Выражение имеет смысл при:

$$a^2 — x^2 \geq 0;$$

$$x^2 \leq a^2;$$

$$-|a| < x < |a| \quad (a \neq 0);$$

Неравенство всегда верно при:

$$-2x < 0;$$

$$x > 0;$$

Ответ: если $a = 0$, тогда решений нет; если $a \neq 0$, тогда $-\frac{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}<x\le \mathrm{\mid }\mathrm{a|}\mathrm{}$

Решение первой системы

Шаг 1: Запись неравенства

Дано неравенство:

$$\sqrt{x — 2} + \sqrt{x — 6} < a.$$

Шаг 2: Возведение в квадрат

Перенесем один из корней в правую часть:

$$\sqrt{x — 2} < a — \sqrt{x — 6}.$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(x — 2) < (a — \sqrt{x — 6})^2.$$

Раскроем скобки:

$$(x — 2) < a^2 — 2a\sqrt{x — 6} + (x — 6).$$

Переносим слагаемые:

$$4 < a^2 — 2a\sqrt{x — 6}.$$

Выразим корень:

$$2a\sqrt{x — 6} < a^2 — 4.$$

Делим на 2a:

$$\sqrt{x — 6} < \frac{a^2 — 4}{2a}.$$

Шаг 3: Возведение в квадрат снова

Возведем обе части в квадрат:

$$x — 6 < \left(\frac{a^2 — 4}{2a}\right)^2.$$

Решаем относительно $x$:

$$x < \frac{(a^2 — 4)^2}{4a^2} + 6.$$

Шаг 4: Область определения

Требуется, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

$$x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2.$$

$$x — 6 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 6.$$

Следовательно, учитываем, что $x \geq 6$.

Шаг 5: Анализ минимального значения

Функция $f(x) = \sqrt{x — 2} + \sqrt{x — 6}$возрастает при $x \geq 6$. Наименьшее значение:

$$f(6) = \sqrt{6 — 2} + \sqrt{6 — 6} = \sqrt{4} + 0 = 2.$$

Если $a \leq 2$, решений нет. Если $a > 2$, то:

$$6 \leq x < \frac{(a^2 — 4)^2}{4a^2} + 6.$$

Ответ:

• Если $a\le 2$, решений нет.
• Если $a>2$, то $6 \leq x < \frac{(a^2 — 4)^2}{4a^2} + 6$

Решение второй системы

Шаг 1: Запись неравенства

Дано:

$$2x + \sqrt{a^2 — x^2} > 0.$$

Шаг 2: Выразим корень

Переносим $2x$ в правую часть:

$$\sqrt{a^2 — x^2} > -2x.$$

Шаг 3: Возведение в квадрат

Возведем в квадрат:

$$a^2 — x^2 > 4x^2.$$

Переносим слагаемые:

$$a^2 > 5x^2.$$

Шаг 4: Выражение $x$

Делим обе части на 5:

$$x^2 < \frac{a^2}{5}.$$

Извлекаем корень:

$$-\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x < \frac{|a|}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 5: Область определения

Корень существует, если

$$a^2 — x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \leq a^2.$$

Значит, $-|a| \leq x \leq |a|.$

Шаг 6: Проверка знака

Неравенство всегда верно, если:

$$-2x < 0 \quad \Rightarrow \quad x > 0.$$

Следовательно, выбираем положительные $x$:

$$0 < x < \frac{|a|}{\sqrt{5}}.$$

Если $a = 0$, решений нет. Если $a \neq 0$, то:

$$-\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x \leq |a|.$$

Ответ:

• Если $a=0$, решений нет.
• Если $a\mathrm{\ne }0$, то $-\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x \leq |a|$

Итоговый ответ$$\boxed{ \begin{aligned} &\text{1) Если } a \leq 2, \text{ то решений нет; если } a > 2, \text{ то } 6 \leq x < \frac{(a^2 — 4)^2}{4a^2} + 6. \\ &\text{2) Если } a = 0, \text{ то решений нет; если } a \neq 0, \text{ то } -\frac{|a|}{\sqrt{5}} < x \leq |a|. \end{aligned} }$$