ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 190 Алимов — Подробные Ответы

1. (x2-13x+40)/(корень 19x-x2-78) < =0;
2. (корень (2×2+7x-4))/(x+4) < 1/2;
3. корень (3+x) > |x-3|;
4. корень (3-x) < корень (7+x) + корень (10+x).

1)

$$\frac{x^2 — 13x + 40}{\sqrt{19x — x^2 — 78}} \leq 0;$$

$$x^2 — 13x + 40 \leq 0;$$

$$D = 13^2 — 4 \cdot 40 = 169 — 160 = 9, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{13 — 3}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{13 + 3}{2} = 8;$$

$$(x — 5)(x — 8) \leq 0;$$

$$5 \leq x \leq 8;$$

Выражение имеет смысл при:

$$19x — x^2 — 78 > 0;$$

$$x^2 — 19x + 78 < 0;$$

$$D = 19^2 — 4 \cdot 78 = 361 — 312 = 49, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{19 — 7}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{19 + 7}{2} = 13;$$

$$(x — 6)(x — 13) < 0;$$

$$6 < x < 13;$$

Ответ:

$6 < x \leq 8$

.

2)

$$\frac{\sqrt{2x^2 + 7x — 4}}{x + 4} < \frac{1}{2};$$

$$2\sqrt{2x^2 + 7x — 4} < x + 4;$$

$$4(2x^2 + 7x — 4) < (x + 4)^2;$$

$$8x^2 + 28x — 16 < x^2 + 8x + 16;$$

$$7x^2 + 20x — 32 < 0;$$

$$D = 20^2 + 4 \cdot 7 \cdot 32 = 400 + 896 = 1296, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{-20 — 36}{2 \cdot 7} = \frac{-56}{14} = -4;$$

$$x_2 = \frac{-20 + 36}{2 \cdot 7} = \frac{16}{14} = \frac{8}{7} = 1 \frac{1}{7};$$

$$(x + 4)\left(x — 1 \frac{1}{7}\right) < 0;$$

$$4 < x < 1 \frac{1}{7};$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x^2 + 7x — 4 \geq 0;$$

$$D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{-7 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4;$$

$$x_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0,5;$$

$$(x + 4)(x — 0,5) \geq 0;$$

$$x \leq -4 \quad \text{и} \quad x \geq 0,5.$$

Неравенство всегда верно при:

$$x + 4 < 0;$$

$$x < -4;$$

Ответ:

$x < -4; \quad 0,5 \leq x < 1 \frac{1}{7}$

.

3)

$$\sqrt{3 + x} > |x — 3|;$$

$$3 + x > |x — 3|^2;$$

$$3 + x > x^2 — 6x + 9;$$

$$x^2 — 7x + 6 < 0;$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6;$$

$$(x — 1)(x — 6) < 0;$$

$$1 < x < 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 + x \geq 0;$$

$$x \geq -3;$$

Ответ:

$1 < x < 6$

.

4)

$$\sqrt{3 — x} < \sqrt{7 + x} + \sqrt{10 + x};$$

$$3 — x < 7 + x + 2\sqrt{(7 + x)(10 + x)} + 10 + x;$$

$$-3x — 14 < 2\sqrt{70 + 7x + 10x + x^2};$$

$$9x^2 + 84x + 196 < 4(70 + 17x + x^2);$$

$$9x^2 + 84x + 196 < 280 + 68x + 4x^2;$$

$$5x^2 + 16x — 84 < 0;$$

$$D = 16^2 + 4 \cdot 5 \cdot 84 = 256 + 1680 = 1936, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{-16 — 44}{2 \cdot 5} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-16 + 44}{2 \cdot 5} = 2,8;$$

$$(x + 6)(x — 2,8) < 0;$$

$$-6 < x < 2,8;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 — x \geq 0 \quad => \quad x \leq 3;$$

$$7 + x \geq 0 \quad => \quad x \geq -7;$$

$$10 + x \geq 0 \quad => \quad x \geq -10;$$

Неравенство всегда верно при:

$$-3x — 14 \leq 0;$$

$$3x + 14 \geq 0;$$

$$3x \geq -14;$$

$$x \geq -4 \frac{2}{3};$$

Ответ:

$-6 < x \leq 3$

.

$$\boxed{ \begin{aligned} &\text{1) } 6 < x \leq 8; \\ &\text{2) } x < -4; \quad 0,5 \leq x < 1 \frac{1}{7}; \\ &\text{3) } 1 < x < 6; \\ &\text{4) } -6 < x \leq 3. \end{aligned} }$$

Задача 1:

Неравенство:

$$\frac{x^2 — 13x + 40}{\sqrt{19x — x^2 — 78}} \leq 0$$

Для решения этого неравенства, мы разделим его на два условия:

Числитель

$x^2 — 13x + 40 \leq 0$

: Чтобы решить это, находим дискриминант квадратного уравнения

$x^2 — 13x + 40 = 0$

:

$$D = (-13)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 — 160 = 9$$

Из этого следует, что корни уравнения:

$$x_1 = \frac{13 — 3}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{13 + 3}{2} = 8$$

Это означает, что выражение

$(x — 5)(x — 8) \leq 0$

, то есть:

$$5 \leq x \leq 8$$

Знаменатель

$\sqrt{19x — x^2 — 78}$

имеет смысл (выражение под корнем должно быть положительным):

Рассматриваем неравенство для выражения под корнем:

$$19x — x^2 — 78 > 0$$

Преобразуем его в стандартный вид квадратичного уравнения:

$$x^2 — 19x + 78 < 0$$

Находим дискриминант для этого уравнения:

$$D = (-19)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 78 = 361 — 312 = 49$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{19 — 7}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{19 + 7}{2} = 13$$

Таким образом, выражение

$(x — 6)(x — 13) < 0$

, что дает интервал:

$$6 < x < 13$$

Объединение двух условий: Мы должны учесть, что для выражения под корнем необходимо, чтобы

$6 < x < 13$

, а для числителя —

$5 \leq x \leq 8$

. Таким образом, окончательное решение:

$$6 < x \leq 8$$

Задача 2:

Неравенство:

$$\frac{\sqrt{2x^2 + 7x — 4}}{x + 4} < \frac{1}{2}$$

Умножим обе части неравенства на

$2(x + 4)$

(учитывая, что

$x + 4 > 0$

, то знак неравенства не меняется):

$$2 \sqrt{2x^2 + 7x — 4} < x + 4$$

Убираем корень, возводя обе части в квадрат:

$$4(2x^2 + 7x — 4) < (x + 4)^2$$

Раскрываем скобки:

$$8x^2 + 28x — 16 < x^2 + 8x + 16$$

Переносим все в одну сторону:

$$8x^2 + 28x — 16 — x^2 — 8x — 16 < 0$$

$$7x^2 + 20x — 32 < 0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = 20^2 — 4 \cdot 7 \cdot (-32) = 400 + 896 = 1296$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-20 — 36}{2 \cdot 7} = -4, \quad x_2 = \frac{-20 + 36}{2 \cdot 7} = \frac{16}{14} = 1 \frac{1}{7}$$

Таким образом, неравенство:

$$(x + 4)(x — 1 \frac{1}{7}) < 0$$

Решение этого неравенства:

$$4 < x < 1 \frac{1}{7}$$

Учитываем, что выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$2x^2 + 7x — 4 \geq 0$$

Находим дискриминант для этого уравнения:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-7 — 9}{4} = -4, \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = 0.5$$

Это дает:

$$(x + 4)(x — 0.5) \geq 0$$

Решение:

$x \leq -4$

или

$x \geq 0.5$

.

Объединение условий: Мы должны учесть, что для неравенства

$(x + 4)(x — 1 \frac{1}{7}) < 0$

должны выполняться значения

$x < -4$

и

$0.5 \leq x < 1 \frac{1}{7}$

.

Таким образом, решение:

$$x < -4; \quad 0.5 \leq x < 1 \frac{1}{7}$$

Задача 3:

Неравенство:

$$\sqrt{3 + x} > |x — 3|$$

Возводим обе части неравенства в квадрат:

$$3 + x > |x — 3|^2$$

Раскрываем абсолютное значение:

$$3 + x > x^2 — 6x + 9$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2 — 7x + 6 < 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 — 24 = 25$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6$$

Таким образом, решение неравенства:

$$1 < x < 6$$

Учитываем, что выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$3 + x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3$$

Ответ:

$1 < x < 6$

.

Задача 4:

Неравенство:

$$\sqrt{3 — x} < \sqrt{7 + x} + \sqrt{10 + x}$$

Возводим обе части неравенства в квадрат:

$$3 — x < 7 + x + 2\sqrt{(7 + x)(10 + x)} + 10 + x$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$-3x — 14 < 2\sqrt{70 + 7x + 10x + x^2}$$

Убираем корень, возводя обе части в квадрат:

$$9x^2 + 84x + 196 < 4(70 + 17x + x^2)$$

Раскрываем скобки:

$$9x^2 + 84x + 196 < 280 + 68x + 4x^2$$

Переносим все в одну сторону:

$$5x^2 + 16x — 84 < 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 16^2 + 4 \cdot 5 \cdot 84 = 256 + 1680 = 1936$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-16 — 44}{2 \cdot 5} = -6, \quad x_2 = \frac{-16 + 44}{2 \cdot 5} = 2.8$$

Таким образом, решение неравенства:

$$-6 < x < 2.8$$

Учитываем, что выражения под корнями должны быть положительными:

$$3 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3$$

Ответ:

$-6 < x \leq 3$

.