ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 188 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (x+4) — 3 корень 4 степени +2=0;
2. корень (x-3) = 3 корень 4 степени + 4;
3. корень 6 степени (1-x) — 5 корень 3 степени (1-x) = -6;
4. x2+3x+ корень (x2+3x) = 2.
5. (корень (3-x) + корень (3+x))/(корень (3x-1) — корень (3+x)) = 2;
6. корень (x+6-4 корень(x+2)) + корень (11+x-6(x+2)) =1.

1)

$\sqrt[4]{x + 4} — 3\sqrt[4]{x + 4} + 2 = 0$

;

Пусть

$y = \sqrt[4]{x + 4}$

, тогда:

$$y^2 — 3y + 2 = 0;$$

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$$

Первое значение:

$$\sqrt[4]{x + 4} = 1;$$

$$x + 4 = 1;$$

$$x = -3;$$

Второе значение:

$$\sqrt[4]{x + 4} = 2;$$

$$x + 4 = 16;$$

$$x = 12;$$

Ответ:

$x_1 = -3; \, x_2 = 12.$

2)

$\sqrt{x — 3} = 3\sqrt[4]{x — 3} + 4$

;

Пусть

$y = \sqrt[4]{x — 3}$

, тогда:

$$y^2 = 3y + 4;$$

$$y^2 — 3y — 4 = 0;$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$

Первое значение:

$$\sqrt[4]{x — 3} = -1 \quad \text{(нет корней)};$$

Второе значение:

$$\sqrt[4]{x — 3} = 4;$$

$$x — 3 = 256;$$

$$x = 259;$$

Ответ:

$x = 259.$

3)

$\sqrt[6]{1 — x} — 5\sqrt[3]{1 — x} = -6$

;

Пусть

$y = \sqrt[6]{1 — x}$

, тогда:

$$y — 5y^2 = -6;$$

$$5y^2 — y — 6 = 0;$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 5 \cdot 6 = 1 + 120 = 121;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{1 — 11}{2 \cdot 5} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5};$$

Первое значение:

$$\sqrt[6]{1 — x} = -1 \quad \text{(нет корней)};$$

Второе значение:

$$\sqrt[6]{1 — x} = \frac{6}{5};$$

$$1 — x = \left(\frac{6}{5}\right)^6 = \frac{46656}{15625};$$

$$x = \frac{15625 — 46656}{15625} = \frac{-31031}{15625} \approx -1.985984;$$

Ответ:

$x = -1.985984.$

4)

$x^2 + 3x + \sqrt{x^2 + 3x} = 2$

;

Пусть

$y = \sqrt{x^2 + 3x}$

, тогда:

$$y^2 + y = 2;$$

$$y^2 + y — 2 = 0;$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\sqrt{x^2 + 3x} = -2 \quad \text{(нет корней)};$$

Второе значение:

$$\sqrt{x^2 + 3x} = 1;$$

$$x^2 + 3x = 1;$$

$$x^2 + 3x — 1 = 0;$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 1 = 9 + 4 = 13;$$

тогда:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2};$$

Ответ:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}.$

5)

$\frac{\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x}}{\sqrt{3 — x} — \sqrt{3 + x}} = 2$

;

$$\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x} = 2(\sqrt{3 — x} — \sqrt{3 + x});$$

$$\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x} = 2\sqrt{3 — x} — 2\sqrt{3 + x};$$

$$3\sqrt{3 + x} = \sqrt{3 — x};$$

$$9(3 + x) = 3 — x;$$

$$27 + 9x = 3 — x;$$

$$10x = -24;$$

$$x = -2.4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3;$$

$$3 + x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3;$$

Ответ:

$x = -2.4.$

6)

$\sqrt{x + 6 — 4\sqrt{x + 2}} + \sqrt{11 + x — 6\sqrt{x + 2}} = 1$

;

$$\sqrt{x + 2 — 2 \cdot 2\sqrt{x + 2} + 4} + \sqrt{x + 2 — 2 \cdot 3\sqrt{x + 2} + 9} = 1;$$

$$\sqrt{(\sqrt{x + 2} — 2)^2} + \sqrt{(\sqrt{x + 2} — 3)^2} = 1;$$

$$|\sqrt{x + 2} — 2| + |\sqrt{x + 2} — 3| = 1;$$

Если

$x \geq 7$

, тогда:

$$2\sqrt{x + 2} — 5 = 1;$$

$$2\sqrt{x + 2} = 6;$$

$$\sqrt{x + 2} = 3;$$

$$x + 2 = 9;$$

$$x = 7;$$

Если

$2 \leq x < 7$

, тогда

$x$

— любое допустимое число.

Если

$x < 2$

, тогда:

$$x = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \geq -2;$$

Ответ:

$2 \leq x \leq 7.$

1) Решение уравнения

$$\sqrt[4]{x + 4} — 3\sqrt[4]{x + 4} + 2 = 0$$

Шаг 1. Введение замены

Обозначим:

$$y = \sqrt[4]{x + 4},$$

то есть,

$$y^4 = x + 4.$$

Подставляем в уравнение:

$$y — 3y + 2 = 0.$$

Шаг 2. Решение квадратного уравнения

Сгруппируем подобные члены:

$$y^2 — 3y + 2 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.$$

Найдем корни по формуле:

$$y_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{2}.$$

Отсюда:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.$$

Шаг 3. Найдем значения x

Если

$y = 1$

, то:

$$\sqrt[4]{x + 4} = 1.$$

Возведем в четвертую степень:

$$x + 4 = 1^4 = 1,$$

$$x = -3.$$

Если

$y = 2$

, то:

$$\sqrt[4]{x + 4} = 2.$$

Возведем в четвертую степень:

$$x + 4 = 2^4 = 16,$$

$$x = 12.$$

Ответ:

$$x_1 = -3, \quad x_2 = 12.$$

2) Решение уравнения

$$\sqrt{x — 3} = 3\sqrt[4]{x — 3} + 4$$

Шаг 1. Введение замены

Обозначим:

$$y = \sqrt[4]{x — 3},$$

то есть,

$$y^4 = x — 3.$$

Перепишем уравнение в новой переменной:

$$y^2 = 3y + 4.$$

Шаг 2. Решение квадратного уравнения

Приведем его к стандартному виду:

$$y^2 — 3y — 4 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.$$

Найдем корни:

$$y_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{2}.$$

Отсюда:

$$y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4.$$

Шаг 3. Найдем значения x

$y = -1$

не подходит, так как корень четвертой степени не может быть отрицательным.

Если

$y = 4$

, то:

$$\sqrt[4]{x — 3} = 4.$$

Возведем в четвертую степень:

$$x — 3 = 4^4 = 256.$$

$$x = 259.$$

Ответ:

$$x = 259.$$

3) Решение уравнения

$$\sqrt[6]{1 — x} — 5\sqrt[3]{1 — x} = -6$$

Шаг 1. Введение замены

Обозначим:

$$y = \sqrt[6]{1 — x},$$

то есть,

$$y^6 = 1 — x.$$

Перепишем уравнение в новой переменной:

$$y — 5y^2 = -6.$$

Приведем его к стандартному виду:

$$5y^2 — y — 6 = 0.$$

Шаг 2. Решение квадратного уравнения

Вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121.$$

Найдем корни:

$$y_{1,2} = \frac{1 \pm 11}{2 \cdot 5}.$$

Отсюда:

$$y_1 = \frac{1 — 11}{10} = -1, \quad y_2 = \frac{1 + 11}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}.$$

Шаг 3. Найдем значения x

$y = -1$

не подходит, так как корень шестой степени не может быть отрицательным.

Если

$y = \frac{6}{5}$

, то:

$$\sqrt[6]{1 — x} = \frac{6}{5}.$$

Возведем в шестую степень:

$$1 — x = \left(\frac{6}{5}\right)^6 = \frac{46656}{15625}.$$

$$x = 1 — \frac{46656}{15625} = \frac{15625 — 46656}{15625} = \frac{-31031}{15625} \approx -1.985984.$$

Ответ:

$$x = -1.985984.$$

4) Решение уравнения

$$x^2 + 3x + \sqrt{x^2 + 3x} = 2$$

Шаг 1. Введение замены

Обозначим:

$$y = \sqrt{x^2 + 3x},$$

тогда уравнение примет вид:

$$y^2 + y = 2.$$

Приведем его к стандартному виду:

$$y^2 + y — 2 = 0.$$

Шаг 2. Решение квадратного уравнения

Вычислим дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.$$

Найдем корни:

$$y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.$$

Отсюда:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.$$

Шаг 3. Найдем значения x

$y = -2$

не подходит, так как значение под корнем не может быть отрицательным.

Если

$y = 1$

, то:

$$\sqrt{x^2 + 3x} = 1.$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x^2 + 3x = 1.$$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$$x^2 + 3x — 1 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13.$$

Найдем корни:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}.$$

Ответ:

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}.$$

5) Решение уравнения

$$\frac{\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x}}{\sqrt{3 — x} — \sqrt{3 + x}} = 2$$

Шаг 1. Умножим на сопряженное выражение

Для упрощения числителя и знаменателя умножим на сопряженное выражение. Умножим и числитель, и знаменатель на

$\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x}$

:

$$\frac{\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x}}{\sqrt{3 — x} — \sqrt{3 + x}} \cdot \frac{\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x}}{\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x}} = \frac{(\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x})^2}{(\sqrt{3 — x})^2 — (\sqrt{3 + x})^2}.$$

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2 — b^2 = (a — b)(a + b),$$

где

$a = \sqrt{3 — x}$

и

$b = \sqrt{3 + x}$

. Тогда:

$$(\sqrt{3 — x})^2 — (\sqrt{3 + x})^2 = (3 — x) — (3 + x) = -2x.$$

Теперь числитель:

$$(\sqrt{3-x}+\sqrt{3+x}{)}^2=(\sqrt{3-x}{)}^2+2\sqrt{(3-x)(3+x)}+(\sqrt{3+x}{)}^2=$$

$$(\sqrt{3 — x} + \sqrt{3 + x})^2 = (\sqrt{3 — x})^2 + 2\sqrt{(3 — x)(3 + x)} + (\sqrt{3 + x})^2 = (3 — x) + (3 + x) + 2\sqrt{(3 — x)(3 + x)} = 6 + 2\sqrt{9 — x^2}.$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$\frac{6 + 2\sqrt{9 — x^2}}{-2x} = 2.$$

Шаг 2. Умножим на

$-2x$

Умножим обе части уравнения на

$-2x$

:

$$6 + 2\sqrt{9 — x^2} = -4x.$$

Переносим

$6$

на правую часть:

$$2\sqrt{9 — x^2} = -4x — 6.$$

Делим обе части на 2:

$$\sqrt{9 — x^2} = -2x — 3.$$

Шаг 3. Возводим в квадрат

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$9 — x^2 = (-2x — 3)^2.$$

Раскроем скобки:

$$9 — x^2 = 4x^2 + 12x + 9.$$

Переносим все на одну сторону:

$$9 — x^2 — 9 = 4x^2 + 12x,$$

$$-x^2 = 4x^2 + 12x,$$

$$0 = 5x^2 + 12x.$$

Вынесем общий множитель:

$$0 = x(5x + 12).$$

Шаг 4. Решение уравнения

Из этого уравнения получаем два корня:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad 5x + 12 = 0.$$

Решая второе уравнение:

$$5x = -12,$$

$$x = -\frac{12}{5}.$$

Ответ:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = -\frac{12}{5}.$$

6) Решение уравнения

$$\sqrt{x + 6 — 4\sqrt{x + 2}} + \sqrt{11 + x — 6\sqrt{x + 2}} = 1$$

Шаг 1. Введение замены

Обозначим:

$$y = \sqrt{x + 2},$$

тогда у нас получится:

$$\sqrt{y^2 + 6 — 4y} + \sqrt{y^2 + 11 — 6y} = 1.$$

Теперь упростим выражения под корнями:

$$\sqrt{(y — 2)^2} + \sqrt{(y — 3)^2} = 1.$$

Преобразуем это в модули:

$$|y — 2| + |y — 3| = 1.$$

Шаг 2. Разбор случаев

Если

$y \geq 3$

, то

$|y — 2| = y — 2$

и

$|y — 3| = y — 3$

, получаем:

$$(y — 2) + (y — 3) = 1,$$

$$2y — 5 = 1,$$

$$2y = 6,$$

$$y = 3.$$

Тогда

$\sqrt{x + 2} = 3$

, и

$x + 2 = 9$

, откуда

$x = 7$

.

Если

$2 \leq y < 3$

, то

$|y — 2| = y — 2$

и

$|y — 3| = 3 — y$

, получаем:

$$(y — 2) + (3 — y) = 1,$$

$$1 = 1.$$

Это верно для всех значений

$y$

в интервале

$[2, 3)$

. То есть

$2 \leq \sqrt{x + 2} < 3$

, что приводит к интервалу:

$$2 \leq x + 2 < 9,$$

$$0 \leq x < 7.$$

Если

$y < 2$

, то

$|y — 2| = 2 — y$

и

$|y — 3| = 3 — y$

, получаем:

$$(2 — y) + (3 — y) = 1,$$

$$5 — 2y = 1,$$

$$2y = 4,$$

$$y = 2.$$

Тогда

$\sqrt{x + 2} = 2$

, и

$x + 2 = 4$

, откуда

$x = 2$

.

Ответ:

$$2 \leq x \leq 7.$$