ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 185 Алимов — Подробные Ответы

Являются ли заданные функции взаимно обратными:

1. y=(10-3x)/(x-4) и y= (4x+10)/(x+3);
2. y=(3x-6)/(3x-1) и y= (6-x)/(3-3x);
3. y=5(1-x)^-1 и y= (5-x)*x^-1
4. y=(2-x)/(2+x) и y= (2(x-1))/(1+x).

1) $y = \frac{10 — 3x}{x — 4}$ и $y = \frac{4x + 10}{x + 3}$;

Функция, обратная первой функции:

$$x = \frac{10 — 3y}{y — 4};$$

$$x(y — 4) = 10 — 3y;$$

$$xy — 4x = 10 — 3y;$$

$$xy + 3y = 10 + 4x;$$

$$y(x + 3) = 4x + 10;$$

$$y = \frac{4x + 10}{x + 3};$$

Ответ: являются.

2) $y = \frac{3x — 6}{3x — 1}$ и $y = \frac{6 — x}{3 — 3x}$;

Функция, обратная первой функции:

$$x = \frac{3y — 6}{3y — 1};$$

$$x(3y — 1) = 3y — 6;$$

$$3xy — x = 3y — 6;$$

$$3xy — 3y = x — 6;$$

$$y(3x — 3) = x — 6;$$

$$y = \frac{x — 6}{3x — 3};$$

$$y = \frac{6 — x}{3 — 3x};$$

Ответ: являются.

3) $y = 5(1 — x)^{-1}$ и $y = (5 — x) \cdot x^{-1}$;

Функция, обратная первой функции:

$$x = 5(1 — y)^{-1};$$

$$x = \frac{5}{1 — y};$$

$$x(1 — y) = 5;$$

$$x — xy = 5;$$

$$xy = x — 5;$$

$$y = \frac{x — 5}{x};$$

$$y = (x — 5) \cdot x^{-1};$$

Ответ: не являются.

4) $y = \frac{2 — x}{2 + x}$ и $y = \frac{2(x — 1)}{1 + x}$;

Функция, обратная первой функции:

$$x = \frac{2 — y}{2 + y};$$

$$x(2 + y) = 2 — y;$$

$$2x + xy = 2 — y;$$

$$xy + y = 2 — 2x;$$

$$y(x + 1) = 2(1 — x);$$

$$y = \frac{2(1 — x)}{1 + x};$$

Ответ: не являются.

1) Проверим, являются ли функции $y = \frac{10 — 3x}{x — 4}$ и $y = \frac{4x + 10}{x + 3}$ взаимно обратными

Найдем обратную функцию к $y = \frac{10 — 3x}{x — 4}$

Шаг 1: Записываем уравнение в виде $x = f(y)$:

$$x = \frac{10 — 3y}{y — 4}$$

Шаг 2: Умножаем обе части на знаменатель $(y — 4)$:

$$x(y — 4) = 10 — 3y$$

Шаг 3: Раскрываем скобки:

$$xy — 4x = 10 — 3y$$

Шаг 4: Переносим все слагаемые с $y$ в одну сторону:

$$xy + 3y = 10 + 4x$$

Шаг 5: Выносим $y$ за скобку:

$$y(x + 3) = 4x + 10$$

Шаг 6: Делим обе части на $x + 3$:

$$y = \frac{4x + 10}{x + 3}$$

Вывод: Обратная функция к $y = \frac{10 — 3x}{x — 4}$ — это $y = \frac{4x + 10}{x + 3}$, следовательно, функции являются взаимно обратными.

Ответ: являются.

2) Проверим, являются ли функции $y = \frac{3x — 6}{3x — 1}$ и $y = \frac{6 — x}{3 — 3x}$ взаимно обратными

Найдем обратную функцию к $y = \frac{3x — 6}{3x — 1}$

Шаг 1: Записываем уравнение в виде $x = f(y)$:

$$x = \frac{3y — 6}{3y — 1}$$

Шаг 2: Умножаем обе части на знаменатель $(3y — 1)$:

$$x(3y — 1) = 3y — 6$$

Шаг 3: Раскрываем скобки:

$$3xy — x = 3y — 6$$

Шаг 4: Переносим все слагаемые с $y$ в одну сторону:

$$3xy — 3y = x — 6$$

Шаг 5: Выносим $y$ за скобку:

$$y(3x — 3) = x — 6$$

Шаг 6: Делим обе части на $3x — 3$:

$$y = \frac{x — 6}{3x — 3}$$

Шаг 7: Видоизменяем выражение:

$$y = \frac{6 — x}{3 — 3x}$$

Вывод: Обратная функция совпадает с данной, следовательно, функции являются взаимно обратными.

Ответ: являются.

3) Проверим, являются ли функции $y = 5(1 — x)^{-1}$ и $y = (5 — x) \cdot x^{-1}$ взаимно обратными

Найдем обратную функцию к $y = 5(1 — x)^{-1}$

Шаг 1: Записываем уравнение в виде $x = f(y)$:

$$x = 5(1 — y)^{-1}$$

Шаг 2: Переписываем дробь:

$$x = \frac{5}{1 — y}$$

Шаг 3: Умножаем обе части на $1 — y$:

$$x(1 — y) = 5$$

Шаг 4: Раскрываем скобки:

$$x — xy = 5$$

Шаг 5: Переносим $xy$ в одну сторону:

$$xy = x — 5$$

Шаг 6: Делим обе части на $x$:

$$y = \frac{x — 5}{x}$$

Шаг 7: Переписываем в виде:

$$y = (x — 5) \cdot x^{-1}$$

Вывод: Полученная функция отличается от данной, следовательно, функции не являются взаимно обратными.

Ответ: не являются.

4) Проверим, являются ли функции $y = \frac{2 — x}{2 + x}$ и $y = \frac{2(x — 1)}{1 + x}$ взаимно обратными

Найдем обратную функцию к $y = \frac{2 — x}{2 + x}$

Шаг 1: Записываем уравнение в виде $x = f(y)$:

$$x = \frac{2 — y}{2 + y}$$

Шаг 2: Умножаем обе части на знаменатель $(2 + y)$:

$$x(2 + y) = 2 — y$$

Шаг 3: Раскрываем скобки:

$$2x + xy = 2 — y$$

Шаг 4: Переносим все слагаемые с $y$ в одну сторону:

$$xy + y = 2 — 2x$$

Шаг 5: Выносим $y$ за скобку:

$$y(x + 1) = 2(1 — x)$$

Шаг 6: Делим обе части на $x + 1$:

$$y = \frac{2(1 — x)}{1 + x}$$

Вывод: Полученная функция отличается от данной, следовательно, функции не являются взаимно обратными.

Ответ: не являются.

Итоговый ответ:

1. Являются. ✅
2. Являются. ✅
3. Не являются. ❌
4. Не являются. ❌