ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 183 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (3-x)=2;
2. корень (3x+1) =8;
3. корень (3-4x) =2x;
4. корень (5x-1+3×2) = 3x;
5. корень 3 степени (x2-17) =2;
6. корень 4 степени (x2+17) =3.

1).

$\sqrt{3 — x} = 2$

;

$(\sqrt{3 — x})^2 = 2^2$

;

$3 — x = 4$

;

$-x = 1$

;

$x = -1$

;

Выражение имеет смысл при:

$3 — x \geq 0$

;

$x \leq 3$

;

Ответ:

$x = -1$

.

2).

$\sqrt{3x + 1} = 8$

;

$(\sqrt{3x + 1})^2 = 8^2$

;

$3x + 1 = 64$

;

$3x = 63$

;

$x = 21$

;

Выражение имеет смысл при:

$3x + 1 \geq 0$

;

$3x \geq -1$

;

$x \geq -\frac{1}{3}$

;

Ответ:

$x = 21$

.

3).

$\sqrt{3 — 4x} = 2x$

;

$(\sqrt{3 — 4x})^2 = (2x)^2$

;

$3 — 4x = 4x^2$

;

$4x^2 + 4x — 3 = 0$

;

$D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$

, тогда:

$x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -1,5$

;

$x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0,5$

;

Выражение имеет смысл при:

$3 — 4x \geq 0$

;

$4x \leq 3$

;

$x \leq 0,75$

;

Уравнение имеет решения при:

$2x \geq 0$

;

$x \geq 0$

;

Ответ:

$x = 0,5$

.

4).

$\sqrt{5x — 1 + 3x^2} = 3x$

;

$(\sqrt{5x — 1 + 3x^2})^2 = (3x)^2$

;

$5x — 1 + 3x^2 = 9x^2$

;

$6x^2 — 5x + 1 = 0$

;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$

, тогда:

$x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

;

$x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

;

Выполним проверку:

$\sqrt{5 \cdot \frac{1}{3} — 1 + 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2} = 3 \cdot \frac{1}{3}$

;

$\sqrt{\frac{5}{3} — 1 + \frac{1}{3}} — 1 = \sqrt{1} — 1 = 0$

;

$\sqrt{5 \cdot \frac{1}{2} — 1 + 3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)} — 3 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{10}{4} — \frac{4}{4} + \frac{3}{4}} — \frac{3}{2} = \sqrt{\frac{9}{4}} — \frac{3}{2} = 0$

;

Ответ:

$x = \frac{1}{3}$

;

$x = \frac{1}{2}$

.

5).

$\sqrt[3]{x^2 — 17} = 2$

;

$(\sqrt[3]{x^2 — 17})^3 = 2^3$

;

$x^2 — 17 = 8$

;

$x^2 = 25$

;

$x = \pm 5$

;

Ответ:

$x = \pm 5$

.

6).

$\sqrt[4]{x^2 + 17} = 3$

;

$(\sqrt[4]{x^2 + 17})^4 = 3^4$

;

$x^2 + 17 = 81$

;

$x^2 = 64$

;

$x = \pm 8$

;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 17 \geq 0$

;

$x^2 \geq -17$

— при любом

$x$

;

Ответ:

$x = \pm 8$

.

1)

$\sqrt{3 — x} = 2$

Шаг 1. Возведение в квадрат обеих частей уравнения:

$$(\sqrt{3 — x})^2 = 2^2$$

$$3 — x = 4$$

Шаг 2. Решение уравнения:

$$3 — x = 4$$

$$— x = 4 — 3$$

$$— x = 1$$

$$x = -1$$

Шаг 3. Проверка области допустимых значений (ОДЗ):
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3 — x \geq 0$$

$$x \leq 3$$

Так как найденное

$x = -1$

удовлетворяет этому условию, оно является верным решением.

Ответ:

$x = -1$

.

2)

$\sqrt{3x + 1} = 8$

Шаг 1. Возведение в квадрат:

$$(\sqrt{3x + 1})^2 = 8^2$$

$$3x + 1 = 64$$

Шаг 2. Решение уравнения:

$$3x = 64 — 1$$

$$3x = 63$$

$$x = \frac{63}{3} = 21$$

Шаг 3. Проверка ОДЗ:

$$3x + 1 \geq 0$$

$$3x \geq -1$$

$$x \geq -\frac{1}{3}$$

Так как

$x = 21$

удовлетворяет этому условию, оно является решением.

Ответ:

$x = 21$

.

3)

$\sqrt{3 — 4x} = 2x$

Шаг 1. Возведение в квадрат:

$$(\sqrt{3 — 4x})^2 = (2x)^2$$

$$3 — 4x = 4x^2$$

Шаг 2. Приведение к стандартному виду квадратного уравнения:

$$4x^2 + 4x — 3 = 0$$

Шаг 3. Вычисление дискриминанта:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3)$$

$$D = 16 + 48 = 64$$

Шаг 4. Нахождение корней:

$$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4}$$

$$x_1 = \frac{-4 — 8}{8} = \frac{-12}{8} = -1.5$$

$$x_2 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$$

Шаг 5. Проверка ОДЗ:

$$3 — 4x \geq 0$$

$$4x \leq 3$$

$$x \leq 0.75$$

Дополнительно:

$$2x \geq 0$$

$$x \geq 0$$

Вывод:

$x = -1.5$

не удовлетворяет ОДЗ, но

$x = 0.5$

подходит.

Ответ:

$x = 0.5$

.

4)

$\sqrt{5x — 1 + 3x^2} = 3x$

Шаг 1. Возведение в квадрат:

$$(\sqrt{5x — 1 + 3x^2})^2 = (3x)^2$$

$$5x — 1 + 3x^2 = 9x^2$$

Шаг 2. Приведение к квадратному уравнению:

$$6x^2 — 5x + 1 = 0$$

Шаг 3. Вычисление дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1$$

$$D = 25 — 24 = 1$$

Шаг 4. Нахождение корней:

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 6}$$

$$x_1 = \frac{5 — 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Шаг 5. Проверка решений:
Обе точки

$x = \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$

удовлетворяют уравнению.

Ответ:

$x = \frac{1}{3}$

,

$x = \frac{1}{2}$

.

5)

$\sqrt[3]{x^2 — 17} = 2$

Шаг 1. Возведение в куб:

$$(\sqrt[3]{x^2 — 17})^3 = 2^3$$

$$x^2 — 17 = 8$$

Шаг 2. Решение уравнения:

$$x^2 = 25$$

Шаг 3. Нахождение корней:

$$x = \pm 5$$

Ответ:

$x = \pm 5$

.

6)

$\sqrt[4]{x^2 + 17} = 3$

Шаг 1. Возведение в четвёртую степень:

$$(\sqrt[4]{x^2 + 17})^4 = 3^4$$

$$x^2 + 17 = 81$$

Шаг 2. Решение уравнения:

$$x^2 = 64$$

Шаг 3. Нахождение корней:

$$x = \pm 8$$

Шаг 4. Проверка ОДЗ:

$$x^2 + 17 \geq 0$$

$$x^2 \geq -17$$

Это верно при любых

$x$

, поэтому ограничений нет.

Ответ:

$x = \pm 8$

.