ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 182 Алимов — Подробные Ответы

Являются ли равносильными уравнения:

1. 2^(x2+3x) = 2^2 и х2 + 3х = 2;
2. корень (х2 + 3х) = корень 2 и х2 + 3х = 2;
3. корень 3 степени (x + 18) = корень 3 степени (2 — х) и x+18 = 2-x?

$2^{x^2 + 3x} = 2^2$ и $x^2 + 3x = 2$;

Преобразуем первое уравнение:

$2^{x^2 + 3x} = 2^2$;

$x^2 + 3x = 2$;

Ответ: равносильны.

2). $\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{2}$и $x^2 + 3x = 2$;

Решим первое уравнение:

$\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{2}$;

$x^2 + 3x = 2$;

$x^2 + 3x — 2 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$, тогда:

$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{17}}{2} \approx -3,5$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0,5$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 3x \geq 0$;

$(x + 3)x \geq 0$;

$x \leq -3$ и $x \geq 0$;

Ответ: равносильны.

3). $\sqrt[3]{x + 18} = \sqrt[3]{2 — x}$и $x + 18 = 2 — x$;

Преобразуем первое уравнение:

$\sqrt[3]{x + 18} = \sqrt[3]{2 — x}$;

$x + 18 = 2 — x$;

Ответ: равносильны.

1) Доказать равносильность уравнений

$$2^{x^2 + 3x} = 2^2 \quad \text{и} \quad x^2 + 3x = 2.$$

Шаг 1. Применяем свойства степеней

Основания степеней одинаковые (число 2), следовательно, если степени равны, то и показатели степеней должны быть равны:

$$x^2 + 3x = 2.$$

Шаг 2. Проверяем равносильность преобразования

Уравнение $2^a = 2^b$ эквивалентно уравнению $a = b$ при любых значениях основания, отличных от 1 (здесь $2 \neq 1$). Поэтому данное преобразование верно для всех возможных значений переменной.

Вывод: Уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

2) Доказать равносильность уравнений

$$\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x^2 + 3x = 2.$$

Шаг 1. Возводим обе части в квадрат

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возводим их в квадрат:

$$(\sqrt{x^2 + 3x})^2 = (\sqrt{2})^2.$$

Получаем:

$$x^2 + 3x = 2.$$

Шаг 2. Проверяем область допустимых значений (ОДЗ)

Корень $\sqrt{x^2 + 3x}$определён, если выражение под корнем неотрицательно:

$$x^2 + 3x \geq 0.$$

Решаем неравенство методом интервалов:

Найдём корни уравнения $x^2 + 3x = 0$:

$$x(x + 3) = 0.$$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

Определяем знаки на промежутках:

• При $x<-3$ выражение $x(x+3)$ положительно.
• При $-3<x<0$ выражение отрицательно.
• При $x>0$ выражение положительно.

Значит, $x^2 + 3x \geq 0$ при:

$$x \leq -3 \quad \text{или} \quad x \geq 0.$$

Шаг 3. Проверяем корни уравнения $x^2 + 3x — 2 = 0$

Дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17.$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}.$$

Приблизительные значения:

$$x_1 \approx -3.56, \quad x_2 \approx 0.56.$$

Из ОДЗ $x \leq -3$ или $x \geq 0$ , и корни $x_1 \approx -3.56$ (не входит в область допустимых значений) и $x_2 \approx 0.56$ (входит).

Следовательно, оба уравнения имеют одно и то же множество решений.

Вывод: Уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

3) Доказать равносильность уравнений

$$\sqrt[3]{x + 18} = \sqrt[3]{2 — x} \quad \text{и} \quad x + 18 = 2 — x.$$

Шаг 1. Применяем свойство кубического корня

Функция $\sqrt[3]{a}$определена на всей числовой оси и сохраняет знак аргумента. То есть:

$$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b} \quad \Longrightarrow \quad a = b.$$

Применяем это свойство к данному уравнению:

$$x + 18 = 2 — x.$$

Шаг 2. Проверяем область допустимых значений (ОДЗ)

Кубический корень определён при любых $x$, поэтому никаких ограничений нет.

Шаг 3. Решаем уравнение

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x + x = 2 — 18.$$

$$2x = -16.$$

$$x = -8.$$

Так как преобразования были выполнены без потери информации, исходное и полученное уравнения равносильны.

Вывод: Уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.