ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 182 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^(x2+3x) = 2^2 и х2 + 3х = 2;
2. корень (х2 + 3х) = корень 2 и х2 + 3х = 2;
3. корень 3 степени (x + 18) = корень 3 степени (2 — х) и x+18 = 2-x?

$2^{x^2 + 3x} = 2^2$

и

$x^2 + 3x = 2$

;

Преобразуем первое уравнение:

$2^{x^2 + 3x} = 2^2$

;

$x^2 + 3x = 2$

;

Ответ: равносильны.

2).

$\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{2}$

и

$x^2 + 3x = 2$

;

Решим первое уравнение:

$\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{2}$

;

$x^2 + 3x = 2$

;

$x^2 + 3x — 2 = 0$

;

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$

, тогда:

$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{17}}{2} \approx -3,5$

и

$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0,5$

;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 3x \geq 0$

;

$(x + 3)x \geq 0$

;

$x \leq -3$

и

$x \geq 0$

;

Ответ: равносильны.

3).

$\sqrt[3]{x + 18} = \sqrt[3]{2 — x}$

и

$x + 18 = 2 — x$

;

Преобразуем первое уравнение:

$\sqrt[3]{x + 18} = \sqrt[3]{2 — x}$

;

$x + 18 = 2 — x$

;

Ответ: равносильны.

1) Доказать равносильность уравнений

$$2^{x^2 + 3x} = 2^2 \quad \text{и} \quad x^2 + 3x = 2.$$

Шаг 1. Применяем свойства степеней

Основания степеней одинаковые (число 2), следовательно, если степени равны, то и показатели степеней должны быть равны:

$$x^2 + 3x = 2.$$

Шаг 2. Проверяем равносильность преобразования

Уравнение

$2^a = 2^b$

эквивалентно уравнению

$a = b$

при любых значениях основания, отличных от 1 (здесь

$2 \neq 1$

). Поэтому данное преобразование верно для всех возможных значений переменной.

Вывод: Уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

2) Доказать равносильность уравнений

$$\sqrt{x^2 + 3x} = \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x^2 + 3x = 2.$$

Шаг 1. Возводим обе части в квадрат

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возводим их в квадрат:

$$(\sqrt{x^2 + 3x})^2 = (\sqrt{2})^2.$$

Получаем:

$$x^2 + 3x = 2.$$

Шаг 2. Проверяем область допустимых значений (ОДЗ)

Корень

$\sqrt{x^2 + 3x}$

определён, если выражение под корнем неотрицательно:

$$x^2 + 3x \geq 0.$$

Решаем неравенство методом интервалов:

Найдём корни уравнения

$x^2 + 3x = 0$

:

$$x(x + 3) = 0.$$

Корни:

$x_1 = 0$

,

$x_2 = -3$

.

Определяем знаки на промежутках:

• При
  $x < -3$ 

  выражение $x(x + 3)$ 

  положительно.

• При
  $-3 < x < 0$ 

  выражение отрицательно.

• При
  $x > 0$ 

  выражение положительно.

Значит,

$x^2 + 3x \geq 0$

при:

$$x \leq -3 \quad \text{или} \quad x \geq 0.$$

Шаг 3. Проверяем корни уравнения

$x^2 + 3x — 2 = 0$

Дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17.$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}.$$

Приблизительные значения:

$$x_1 \approx -3.56, \quad x_2 \approx 0.56.$$

Из ОДЗ

$x \leq -3$

или

$x \geq 0$

, и корни

$x_1 \approx -3.56$

(не входит в область допустимых значений) и

$x_2 \approx 0.56$

(входит).

Следовательно, оба уравнения имеют одно и то же множество решений.

Вывод: Уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.

3) Доказать равносильность уравнений

$$\sqrt[3]{x + 18} = \sqrt[3]{2 — x} \quad \text{и} \quad x + 18 = 2 — x.$$

Шаг 1. Применяем свойство кубического корня

Функция

$\sqrt[3]{a}$

определена на всей числовой оси и сохраняет знак аргумента. То есть:

$$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b} \quad \Longrightarrow \quad a = b.$$

Применяем это свойство к данному уравнению:

$$x + 18 = 2 — x.$$

Шаг 2. Проверяем область допустимых значений (ОДЗ)

Кубический корень определён при любых

$x$

, поэтому никаких ограничений нет.

Шаг 3. Решаем уравнение

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x + x = 2 — 18.$$

$$2x = -16.$$

$$x = -8.$$

Так как преобразования были выполнены без потери информации, исходное и полученное уравнения равносильны.

Вывод: Уравнения равносильны.

Ответ: равносильны.