ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 180 Алимов — Подробные Ответы

1. y = 0,5х + 3;
2. у =2/(x-3);
3. у = (х + 2)3;
4. y = х3-1.

1)

$y = 0,5x + 3$

Область определения и множество значений:

$$x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

Функция, обратная данной:

$$y = 0,5x + 3$$

$$0,5x = y — 3$$

$$x = 2(y — 3) = 2y — 6$$

Ответ:

$y = 2x — 6$

;

$x \in \mathbb{R}$

;

$y \in \mathbb{R}$

.

2)

$y = \frac{2}{x — 3}$

Область определения и множество значений:

$$x — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$

$$y \neq 0$$

Функция, обратная данной:

$$y = \frac{2}{x — 3}$$

$$x — 3 = \frac{2}{y}$$

$$x = \frac{2}{y} + 3$$

Ответ:

$y = \frac{2}{x} + 3$

;

$x \neq 0$

;

$y \neq 3$

.

3)

$y = (x + 2)^3$

Область определения и множество значений:

$$x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

Функция, обратная данной:

$$y = (x + 2)^3$$

$$x + 2 = \sqrt[3]{y}$$

$$x = \sqrt[3]{y} — 2$$

Ответ:

$y = \sqrt[3]{x} — 2$

;

$x \in \mathbb{R}$

;

$y \in \mathbb{R}$

.

4)

$y = x^3 — 1$

Область определения и множество значений:

$$x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

Функция, обратная данной:

$$y = x^3 — 1$$

$$x^3 = y + 1$$

$$x = \sqrt[3]{y + 1}$$

Ответ:

$y = \sqrt[3]{x + 1}$

;

$x \in \mathbb{R}$

;

$y \in \mathbb{R}$

.

1)

$y = 0,5x + 3$

Область определения и множество значений

Это линейная функция, уравнение прямой.

• Любое число
  $x$ 

  можно подставить в выражение $0,5x + 3$ 

  , оно всегда даёт конечный результат.

• Следовательно, область определения — все действительные числа: 

  $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ 

• Аналогично, при любом
  $x$ 

  функция принимает любое значение $y$ 

  .
  Множество значений: 

  $$E(y) = (-\infty; +\infty)$$ 

Нахождение обратной функции

Записываем уравнение:

$$y = 0,5x + 3$$

Выражаем

$x$

через

$y$

:

$$0,5x = y — 3$$

$$x = 2(y — 3) = 2y — 6$$

Меняем местами

$x$

и

$y$

:

$$y = 2x — 6$$

Ответ:

$$y = 2x — 6, \quad x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

2)

$y = \frac{2}{x — 3}$

Область определения и множество значений

Функция имеет знаменатель

$x — 3$

, который не должен быть равен нулю:

$$x — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$

Значит, область определения:

$$D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$$

Выражение

$y = \frac{2}{x — 3}$

не может быть равно нулю, так как в числителе стоит 2. Значит, множество значений:

$$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Нахождение обратной функции

Записываем уравнение:

$$y = \frac{2}{x — 3}$$

Умножаем обе части на

$x — 3$

:

$$y(x — 3) = 2$$

Выражаем

$x$

:

$$x — 3 = \frac{2}{y}$$

$$x = \frac{2}{y} + 3$$

Меняем местами

$x$

и

$y$

:

$$y = \frac{2}{x} + 3$$

Ограничения:

• Из исходного уравнения
  $y \neq 0$ 

  , значит, обратная функция не определена при $x = 0$ 

  .

• В обратной функции
  $y$ 

  не может быть равно 3.

Ответ:

$$y = \frac{2}{x} + 3, \quad x \neq 0, \quad y \neq 3$$

3)

$y = (x + 2)^3$

Область определения и множество значений

• Функция определена при всех
  $x$ 

  , так как куб любой суммы всегда даёт конечное значение. 

  $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ 

• Кубическая функция принимает все значения
  $y$ 

  , поэтому: 

  $$E(y) = (-\infty; +\infty)$$ 

Нахождение обратной функции

Записываем уравнение:

$$y = (x + 2)^3$$

Берём кубический корень от обеих сторон:

$$x + 2 = \sqrt[3]{y}$$

Выражаем

$x$

:

$$x = \sqrt[3]{y} — 2$$

Меняем местами

$x$

и

$y$

:

$$y = \sqrt[3]{x} — 2$$

Ответ:

$$y = \sqrt[3]{x} — 2, \quad x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

4)

$y = x^3 — 1$

Область определения и множество значений

• Функция определена при всех
  $x$ 

  , так как куб любого числа даёт конечное значение. 

  $$D(y) = (-\infty; +\infty)$$ 

• Кубическая функция
  $x^3 — 1$ 

  принимает все значения $y$ 

  , поэтому: 

  $$E(y) = (-\infty; +\infty)$$ 

Нахождение обратной функции

Записываем уравнение:

$$y = x^3 — 1$$

Выражаем

$x$

:

$$x^3 = y + 1$$

Берём кубический корень:

$$x = \sqrt[3]{y + 1}$$

Меняем местами

$x$

и

$y$

:

$$y = \sqrt[3]{x + 1}$$

Ответ:

$$y = \sqrt[3]{x + 1}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$