ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 180 Алимов — Подробные Ответы

Найти функцию, обратную данной, её область определения и множество значений:

1. y = 0,5х + 3;
2. у =2/(x-3);
3. у = (х + 2)3;
4. y = х3-1.

1) $y = 0,5x + 3$

Область определения и множество значений:

$$x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

Функция, обратная данной:

$$y = 0,5x + 3$$

$$0,5x = y — 3$$

$$x = 2(y — 3) = 2y — 6$$

Ответ: $y = 2x — 6$; $x \in \mathbb{R}$; $y \in \mathbb{R}$.

2) $y = \frac{2}{x — 3}$

Область определения и множество значений:

$$x — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$

$$y \neq 0$$

Функция, обратная данной:

$$y = \frac{2}{x — 3}$$

$$x — 3 = \frac{2}{y}$$

$$x = \frac{2}{y} + 3$$

Ответ: $y = \frac{2}{x} + 3$; $x \neq 0$; $y \neq 3$.

3) $y = (x + 2)^3$

Область определения и множество значений:

$$x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

Функция, обратная данной:

$$y = (x + 2)^3$$

$$x + 2 = \sqrt[3]{y}$$

$$x = \sqrt[3]{y} — 2$$

Ответ: $y = \sqrt[3]{x} — 2$; $x \in \mathbb{R}$; $y \in \mathbb{R}$.

4) $y = x^3 — 1$

Область определения и множество значений:

$$x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

Функция, обратная данной:

$$y = x^3 — 1$$

$$x^3 = y + 1$$

$$x = \sqrt[3]{y + 1}$$

Ответ: $y = \sqrt[3]{x + 1}$; $x \in \mathbb{R}$; $y \in \mathbb{R}$.

1) $y = 0,5x + 3$

Область определения и множество значений

Это линейная функция, уравнение прямой.

• Любое число x можно подставить в выражение $0,5x + 3$, оно всегда даёт конечный результат.
• Следовательно, область определения — все действительные числа:
  $$$$

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

• Аналогично, при любом x функция принимает любое значение $y$.

Множество значений:

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

Нахождение обратной функции

Записываем уравнение:

$$y = 0,5x + 3$$

Выражаем $x$ через $y$:

$$0,5x = y — 3$$

$$x = 2(y — 3) = 2y — 6$$

Меняем местами $x$ и $y$:

$$y = 2x — 6$$

Ответ:$$y = 2x — 6, \quad x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

2) $y = \frac{2}{x — 3}$

Область определения и множество значений

Функция имеет знаменатель $x — 3$, который не должен быть равен нулю:

$$x — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$

Значит, область определения:

$$D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$$

Выражение $y = \frac{2}{x — 3}$ не может быть равно нулю, так как в числителе стоит 2. Значит, множество значений:

$$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Нахождение обратной функции

Записываем уравнение:

$$y = \frac{2}{x — 3}$$

Умножаем обе части на $x — 3$:

$$y(x — 3) = 2$$

Выражаем $x$:

$$x — 3 = \frac{2}{y}$$

$$x = \frac{2}{y} + 3$$

Меняем местами $x$ и $y$:

$$y = \frac{2}{x} + 3$$

Ограничения:

Из исходного уравнения $y\mathrm{\ne }0$, значит, обратная функция не определена при $x = 0$.

В обратной функции y не может быть равно 3.

Ответ:$$y = \frac{2}{x} + 3, \quad x \neq 0, \quad y \neq 3$$

3) $y = (x + 2)^3$

Область определения и множество значений

• Функция определена при всех x, так как куб любой суммы всегда даёт конечное значение.

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

• Кубическая функция принимает все значения y, поэтому:

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

Нахождение обратной функции

Записываем уравнение:

$$y = (x + 2)^3$$

Берём кубический корень от обеих сторон:

$$x + 2 = \sqrt[3]{y}$$

Выражаем $x$:

$$x = \sqrt[3]{y} — 2$$

Меняем местами $x$ и $y$:

$$y = \sqrt[3]{x} — 2$$

Ответ:$$y = \sqrt[3]{x} — 2, \quad x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$

4) $y = x^3 — 1$

Область определения и множество значений

• Функция определена при всех x, так как куб любого числа даёт конечное значение.

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

• Кубическая функция $x^3-1$ принимает все значения $y$, поэтому:
  $x^3 — 1$

$$E(y) = (-\infty; +\infty)$$

Нахождение обратной функции

Записываем уравнение:

$$y = x^3 — 1$$

Выражаем $x$:

$$x^3 = y + 1$$

Берём кубический корень:

$$x = \sqrt[3]{y + 1}$$

Меняем местами $x$ и $y$:

$$y = \sqrt[3]{x + 1}$$

Ответ:$$y = \sqrt[3]{x + 1}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad y \in \mathbb{R}$$