ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 18 Алимов — Подробные Ответы

1. q= -1/2, b1 = 1/8;
2. q= 1/3, b5 = 1/81;
3. q= -1/3, b1 = 9;
4. q= -1/2, b4 = 1/8.

$q = -\frac{1}{2}$ и $b_1 = \frac{1}{8}$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{1}{8}}{1 — \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{4 \cdot 3} = \frac{1}{12};$$

Ответ: $\frac{1}{12}$.

$q = \frac{1}{3}$ и $b_5 = \frac{1}{81}$;

$$b_5 = b_1 \cdot q^4, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_5}{q^4} = \frac{\frac{1}{81}}{\left(\frac{1}{3}\right)^4} = \frac{\frac{1}{81}}{\frac{1}{81}} = 1;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{1}{1 — \frac{1}{3}} = 1 : \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = 1.5;$$

Ответ: $1.5$.

$q = -\frac{1}{3}$ и $b_1 = 9$;

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{9}{1 — \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75;$$

Ответ: $6.75$.

$q = -\frac{1}{2}$ и $b_4 = \frac{1}{8}$;

$$b_4 = b_1 \cdot q^3, \text{ отсюда } b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{\frac{1}{8}}{\left(-\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{1}{8}}{-\frac{1}{8}} = -1;$$ $$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{-1}{1 — \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3};$$

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

Общая формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Если геометрическая прогрессия бесконечна и убывает, то сумма всех её членов выражается формулой:

$$S = \frac{b_1}{1 — q}, \quad \text{если } |q| < 1$$

где:

• $b_1$ — первый член прогрессии
• $q$ — знаменатель прогрессии (отношение между соседними членами)
• $|q| < 1$ — условие убывания и сходимости суммы

1) $q = -\frac{1}{2}$, $b_1 = \frac{1}{8}$

Используем формулу:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{\frac{1}{8}}{1 — \left( -\frac{1}{2} \right)} = \frac{\frac{1}{8}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}$$

Деление дробей:

$$\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{12}}$

2) $q = \frac{1}{3}$, $b_5 = \frac{1}{81}$

Сначала найдём первый член прогрессии $b_1$.
Формула общего члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Значит, для $n = 5$:

$$b_5 = b_1 \cdot q^4 \Rightarrow b_1 = \frac{b_5}{q^4}$$

Подставляем:

$$b_1 = \frac{\frac{1}{81}}{\left( \frac{1}{3} \right)^4} = \frac{\frac{1}{81}}{\frac{1}{81}} = 1$$

Теперь считаем сумму:

$$S = \frac{1}{1 — \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Ответ: $\boxed{1.5}$

3) $q = -\frac{1}{3}$, $b_1 = 9$

Используем формулу суммы:

$$S = \frac{b_1}{1 — q} = \frac{9}{1 — (-\frac{1}{3})} = \frac{9}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{4}{3}}$$

Делим:

$$\frac{9}{\frac{4}{3}} = 9 \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$$

Ответ: $\boxed{6.75}$

4) $q = -\frac{1}{2}$, $b_4 = \frac{1}{8}$

Найдем $b_1$, используя формулу общего члена:

$$b_4 = b_1 \cdot q^3 \Rightarrow b_1 = \frac{b_4}{q^3}$$

Посчитаем $q^3$:

$$\left( -\frac{1}{2} \right)^3 = -\frac{1}{8}$$

Тогда:

$$b_1 = \frac{\frac{1}{8}}{-\frac{1}{8}} = -1$$

Теперь считаем сумму:

$$S = \frac{-1}{1 — (-\frac{1}{2})} = \frac{-1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-1}{\frac{3}{2}} = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{2}{3}}$