ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 179 Алимов — Подробные Ответы

1. y= корень 3 степени (1-x);
2. y= корень 6 степени (2-x2);
3. y= (3×2+1)^-2;
4. y= корень (x2-x-2)

$y = \sqrt[3]{1 — x}$

;

Функция определена при:

$-\infty < x < +\infty$

;

Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

.

$y = \sqrt[6]{2 — x^2}$

;

Функция определена при:

$2 — x^2 \geq 0$

;

$x^2 \leq 2$

;

$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

;

Ответ:

$D(x) = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$

.

$y = (3x^2 + 1)^{-2} = \frac{1}{(3x^2 + 1)^2}$

;

Функция определена при:

$3x^2 + 1 \neq 0$

;

$3x^2 \neq -1$

;

$x^2 \neq -\frac{1}{3}$

— при любом

$x$

;

Ответ:

$D(x) = (-\infty; +\infty)$

.

$y = \sqrt{x^2 — x — 2}$

;

Функция определена при:

$x^2 — x — 2 \geq 0$

;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$

, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$

и

$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

;

$(x + 1)(x — 2) \geq 0$

;

$x \leq -1$

и

$x \geq 2$

;

Ответ:

$D(x) = (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$

.

1)

$y = \sqrt[3]{1 — x}$

Шаг 1: Определим область определения функции.
Кубический корень (или корень третьей степени) можно извлекать из любого действительного числа, включая отрицательные значения. Это означает, что выражение

$\sqrt[3]{1 — x}$

будет определено для любого значения

$x$

. Нет никаких ограничений на

$x$

, потому что мы не сталкиваемся с корнями четной степени или делением на ноль.

Шаг 2: Ответ.
Таким образом, функция определена на всей числовой прямой, и её область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

2)

$y = \sqrt[6]{2 — x^2}$

Шаг 1: Определим область определения функции.
Функция включает в себя корень шестой степени, который является корнем четной степени. Для того чтобы корень был определён, выражение под корнем должно быть неотрицательным. То есть:

$$2 — x^2 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$x^2 \leq 2$$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства:

$$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$$

Таким образом, область определения функции — это отрезок от

$-\sqrt{2}$

до

$\sqrt{2}$

.

Шаг 2: Ответ.
Область определения функции:

$$D(x) = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$$

3)

$y = (3x^2 + 1)^{-2} = \frac{1}{(3x^2 + 1)^2}$

Шаг 1: Определим область определения функции.
Здесь имеется выражение вида

$\frac{1}{(3x^2 + 1)^2}$

, и чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому нужно решить неравенство:

$$3x^2 + 1 \neq 0$$

Решим это неравенство:

$$3x^2 \neq -1$$

$$x^2 \neq -\frac{1}{3}$$

Так как квадрат числа всегда неотрицателен, выражение

$x^2 = -\frac{1}{3}$

не имеет решений в действительных числах. Таким образом, функция определена для всех значений

$x$

, так как невозможности на основании этого уравнения нет.

Шаг 2: Ответ.
Область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

4)

$y = \sqrt{x^2 — x — 2}$

Шаг 1: Определим область определения функции.
Для того чтобы функция была определена, выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$x^2 — x — 2 \geq 0$$

Решим это неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

Используем дискриминант для нахождения корней:

$$D = (-1)^2 — 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим сами корни:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 — 3}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Таким образом, корни квадратного уравнения:

$x_1 = -1$

,

$x_2 = 2$

. Далее раскладываем выражение

$x^2 — x — 2$

на множители:

$$(x + 1)(x — 2) \geq 0$$

Решим это неравенство. Для этого рассмотрим знаки на промежутках, образованных корнями

$x_1 = -1$

и

$x_2 = 2$

:

• При
  $x \leq -1$ 

  , оба множителя $(x + 1)$ 

  и $(x — 2)$ 

  отрицательны, и произведение положительное.

• При
  $-1 < x < 2$ 

  , множитель $(x + 1)$ 

  положителен, а $(x — 2)$ 

  отрицателен, и произведение отрицательно.

• При
  $x \geq 2$ 

  , оба множителя положительны, и произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется при:

$$x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 2$$

Это означает, что функция определена на промежутках

$(-\infty; -1]$

и

$[2; +\infty)$

.

Шаг 2: Ответ.
Область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$$

Итоговый ответ для всех пунктов:

1. 
   $D(x) = (-\infty; +\infty)$ 
2. 
   $D(x) = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ 
3. 
   $D(x) = (-\infty; +\infty)$ 
4. 
   $D(x) = (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$