ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 176 Алимов — Подробные Ответы

На одном рисунке построить графики функций у = х2 и y =x^корень x. Сравнить значения этих функций при х, равном 0; 0,5; 1; 3/2;2;3; 4; 5.

Построить графики функций: $y = x^2$ и $y = x^{\sqrt{x}}$;

1) $y = x^2$— уравнение параболы:

2) $y = x^{\sqrt{x}}$— показательно-степенная функция:

3) Графики функций:

4) Сравним значения функций:

• При $x=0$: $x^{\sqrt{x}} > x^2$;
• При $x=0.5$: $x^{\sqrt{x}} > x^2$;
• При $x=1$: $x^{\sqrt{x}} = x^2$;
• При $x=\frac{3}{2}$: $x^{\sqrt{x}} < x^2$;
• При $x=2$: $x^{\sqrt{x}} < x^2$;
• При $x=3$: $x^{\sqrt{x}} < x^2$;
• При $x=4$: $x^{\sqrt{x}} = x^2$;
• При $x=5$: $x^{\sqrt{x}} > x^2$

Построить графики функций: $y = x^2$ и $y = x^{\sqrt{x}}$;

1) $y = x^2$— уравнение параболы:

Функция $y = x^2$ — это стандартное уравнение параболы, которая открывается вверх. Парабола симметрична относительно оси $y$, то есть для каждого значения $x$, его отрицательная версия даёт такое же значение $y$.

Для разных значений $x$ вычислим значения функции:

График этой функции представляет собой параболу, которая проходит через точку $(0, 0)$ и симметрична относительно оси $y$. Значения функции увеличиваются, когда $x$ отдаляется от нуля в любую сторону.

2) $y = x^{\sqrt{x}}$— показательно-степенная функция:

Для функции $y = x^{\sqrt{x}}$, где показатель степени является корнем, видим, что значения функции сильно зависят от значений $x$. Эта функция является показательно-степенной, где показатель степени $\sqrt{x}$увеличивается по мере роста $x$, но сама функция имеет интересные особенности, когда $x$ стремится к нулю и когда $x$ становится большим. Для разных значений $x$, вычислим значения функции:

• При $x=0$, $y=1$, так как $0^{\sqrt{0}}=1.$
• При $x=0.1$, $y\approx 0.5$.
• При $x=0.5$, $y\approx 0.6$.
• При $x=1$, $y=1$, так как $1^{\sqrt{1}}=1$.
• При $x=2$, $y\approx 2.7$.
• При $x=3$, $y\approx \mathrm{6.7.}$$y \approx 6.7$
• При $x=4$, $y=16.$$y = 16$
• При $x=5$, $y\approx 36.5$.

График этой функции имеет экспоненциальный рост, при этом функция увеличивается с увеличением $x$, но на начальных этапах, например, при малых $x$, рост происходит не так быстро.

3) Графики функций:

4) Сравним значения функций:

Теперь, сравнив значения обеих функций при различных $x$, мы можем определить, как функции ведут себя друг относительно друга:

• При $x=0$: $x^{\sqrt{x}} = 1$, $x^2 = 0$. Следовательно, $x^{\sqrt{x}} > x^2$.
• При $x=0.5$: $x^{\sqrt{x}} \approx 0.6$, $x^2 = 0.25$. Следовательно, $x^{\sqrt{x}} > x^2$.
• При $x=1$: $x^{\sqrt{x}} = 1$, $x^2 = 1$. Следовательно, $x^{\sqrt{x}} = x^2$.
• При $x=\frac{3}{2}$: $x^{\sqrt{x}} \approx 1.837$, $x^2 = 2.25$. Следовательно, $x^{\sqrt{x}} < x^2$.
• При $x=2$: $x^{\sqrt{x}} \approx 2.7$, $x^2 = 4$. Следовательно, $x^{\sqrt{x}} < x^2$.
• При $x=3$: $x^{\sqrt{x}} \approx 6.7$, $x^2 = 9$. Следовательно, $x^{\sqrt{x}} < x^2$.
• При $x=4$: $x^{\sqrt{x}} = 16$, $x^2 = 16$. Следовательно, $x^{\sqrt{x}} = x^2$.
• При $x=5$: $x^{\sqrt{x}} \approx 36.5$, $x^2 = 25$. Следовательно, $x^{\sqrt{x}} > x^2$.

Таким образом, можно сделать выводы о поведении этих двух функций для различных значений $x$:

• Для малых значений x, особенно при $x \in [0, 1]$, функция $x^{\sqrt{x}}$больше или равна функции $x^2$.
• Для $x>1$, функция $x^2$ начинает расти быстрее, чем $x^{\sqrt{x}}$, и становится больше функции $x^{\sqrt{x}}$.
• Для достаточно больших x, $x^{\sqrt{x}}$снова становится больше $x^2$.

Это даёт нам интересный взгляд на поведение этих функций на разных интервалах.