ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 175 Алимов — Подробные Ответы

1. у = х9;
2. у = 7х4;
3. у = корень x;
4. у = корень 3 степени х;
5. у = х ^ -2;
6. у = х^-3.

1)

$y = x^9$

• Показатель степени — нечетное натуральное число, значит:
  • Область определения функции:
    $x \in \mathbb{R}$ 

    ;

  • Множество значений функции:
    $y \in \mathbb{R}$ 

    ;

• Схематический график функции:

2)

$y = 7x^4$

• Показатель степени — четное натуральное число, значит:
  • Область определения функции:
    $x \in \mathbb{R}$ 

    ;

  • Множество значений функции:
    $y \geq 0$ 

    ;

• Схематический график функции:

3)

$y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

• Показатель степени — положительное нецелое число, значит:
  • Область определения функции:
    $x \geq 0$ 

    ;

  • Область значения функции:
    $y \geq 0$ 

    ;

• Схематический график функции:

4)

$y = \sqrt[3]{x}$

• Показатель степени — положительное нецелое число, значит:
  • Область определения функции:
    $x \in \mathbb{R}$ 

    ;

  • Область значения функции:
    $y \in \mathbb{R}$ 

    ;

• Схематический график функции:

5)

$y = x^{-2}$

• Показатель степени — отрицательное четное целое число, значит:
  • Область определения функции:
    $x \neq 0$ 

    ;

  • Множество значений функции:
    $y > 0$ 

    ;

• Схематический график функции:

6)

$y = x^{-3}$

• Показатель степени — отрицательное нечетное целое число, значит:
  • Область определения функции:
    $x \neq 0$ 

    ;

  • Множество значений функции:
    $y \neq 0$ 

    ;

• Схематический график функции:

1)

$y = x^9$

• Показатель степени — нечетное натуральное число:
  • Когда показатель степени является нечетным натуральным числом, то функция будет определена на всей числовой оси (
    $\mathbb{R}$ 

    ) и её значения могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от значения $x$ 

    .

  • Если
    $x > 0$ 

    , то $y > 0$ 

    .

  • Если
    $x < 0$ 

    , то $y < 0$ 

    .

  • Если
    $x = 0$ 

    , то $y = 0$ 

    .

• Область определения функции:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  , так как функция $y = x^9$ 

  определена для любого действительного числа.

• Множество значений функции:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  , так как для любого $x$ 

  функция $x^9$ 

  может принимать любое значение на числовой оси.

• Схематический график функции:
  • График функции будет иметь форму кривой, проходящей через начало координат (точку
    $(0, 0)$ 

    ), и будет симметричен относительно начала координат. Для положительных $x$ 

    график будет увеличиваться, а для отрицательных $x$ 

    — уменьшаться, следуя характеристикам нечетных степеней.

2)

$y = 7x^4$

• Показатель степени — четное натуральное число:
  • Когда показатель степени является четным числом, то для любых
    $x$ 

    , график функции будет всегда неотрицателен. Это означает, что $y \geq 0$ 

    для всех значений $x$ 

    .

  • Если
    $x > 0$ 

    , то $y > 0$ 

    .

  • Если
    $x = 0$ 

    , то $y = 0$ 

    .

  • Если
    $x < 0$ 

    , то $y > 0$ 

    , так как при возведении в четную степень отрицательное число дает положительный результат.

• Область определения функции:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  , так как функция $y = 7x^4$ 

  определена для всех действительных чисел.

• Множество значений функции:
  $y \geq 0$ 

  , так как функция всегда неотрицательна. При любых значениях $x$ 

  , результат всегда будет равен или больше нуля.

• Схематический график функции:
  • График будет симметричен относительно оси
    $y$ 

    (оси $x = 0$ 

    ), так как $y = 7x^4$ 

    для положительных и отрицательных $x$ 

    имеет одинаковые значения.

  • Он будет иметь форму параболы, которая будет направлена вверх, проходить через точку
    $(0, 0)$ 

    , и для $x$ 

    стремящихся к бесконечности, значение $y$ 

    будет стремиться к бесконечности.

3)

$y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

• Показатель степени — положительное нецелое число:
  • В этом случае, функция определена только для неотрицательных значений
    $x$ 

    , так как квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.

  • Если
    $x > 0$ 

    , то $y > 0$ 

    .

  • Если
    $x = 0$ 

    , то $y = 0$ 

    .

• Область определения функции:
  $x \geq 0$ 

  , так как для отрицательных значений $x$ 

  выражение $x^{\frac{1}{2}}$ 

  не имеет смысла в области действительных чисел.

• Область значения функции:
  $y \geq 0$ 

  , так как квадратный корень всегда неотрицателен.

• Схематический график функции:
  • График будет начинаться в точке
    $(0, 0)$ 

    и возрастать, но с замедлением роста, так как для больших $x$ 

    при возведении в степень $\frac{1}{2}$ 

    , рост значения $y$ 

    замедляется.

4)

$y = \sqrt[3]{x}$

• Показатель степени — положительное нецелое число:
  • Для кубического корня из
    $x$ 

    функция будет определена для всех значений $x \in \mathbb{R}$ 

    , так как кубический корень из отрицательного числа существует.

  • Если
    $x > 0$ 

    , то $y > 0$ 

    .

  • Если
    $x = 0$ 

    , то $y = 0$ 

    .

  • Если
    $x < 0$ 

    , то $y < 0$ 

    , так как кубический корень из отрицательного числа — отрицательное число.

• Область определения функции:
  $x \in \mathbb{R}$ 

  , так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ 

  определена для всех действительных чисел.

• Область значения функции:
  $y \in \mathbb{R}$ 

  , так как кубический корень может быть как положительным, так и отрицательным числом, в зависимости от знака $x$ 

  .

• Схематический график функции:
  • График будет симметричен относительно начала координат, так как кубический корень из отрицательного числа также является отрицательным.
  • График будет возрастать, но с более мягким наклоном, так как при увеличении
    $x$ 

    значения функции растут медленно.

5)

$y = x^{-2}$

• Показатель степени — отрицательное четное целое число:
  • При отрицательном четном показателе степени, функция определена для всех
    $x$ 

    , кроме нуля, так как деление на ноль невозможно.

  • Если
    $x > 0$ 

    , то $y > 0$ 

    .

  • Если
    $x < 0$ 

    , то $y > 0$ 

    (так как возведение в четную степень делает результат положительным).

• Область определения функции:
  $x \neq 0$ 

  , так как выражение $x^{-2}$ 

  не определено для $x = 0$ 

  .

• Множество значений функции:
  $y > 0$ 

  , так как при любом значении $x$ 

  , функция принимает положительные значения.

• Схематический график функции:
  • График будет стремиться к бесконечности при
    $x \to 0$ 

    и будет симметричен относительно оси $y$ 

    (оси $x = 0$ 

    ).

  • Он будет уменьшаться при удалении от нуля, но всегда оставаться положительным.

6)

$y = x^{-3}$

• Показатель степени — отрицательное нечетное целое число:
  • Для функции с таким показателем степени, область определения снова будет всё
    $\mathbb{R}$ 

    , за исключением нуля, так как деление на ноль невозможно.

  • Если
    $x > 0$ 

    , то $y > 0$ 

    .

  • Если
    $x < 0$ 

    , то $y < 0$ 

    , так как возведение в нечетную степень сохраняет знак.

• Область определения функции:
  $x \neq 0$ 

  , так как функция не определена при $x = 0$ 

  .

• Множество значений функции:
  $y \neq 0$ 

  , так как функция никогда не принимает значение ноль (при $x = 0$ 

  происходит деление на ноль).

• Схематический график функции:
  • График будет проходить через начало координат и стремиться к бесконечности при
    $x \to 0^+$ 

    , а к минус бесконечности при $x \to 0^-$ 

    .

  • Он будет симметричен относительно начала координат, и для положительных значений
    $x$ 

    он будет располагаться в верхней части, а для отрицательных — в нижней.