ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 175 Алимов — Подробные Ответы

Изобразить схематически график функции, указать её область определения и множество значений:

1. у = х9;
2. у = 7х4;
3. у = корень x;
4. у = корень 3 степени х;
5. у = х ^ -2;
6. у = х^-3.

1) $y = x^9$

Показатель степени — нечетное натуральное число, значит:

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$

Множество значений функции: $y\in \mathbb{R}$

Схематический график функции:

2) $y = 7x^4$

Показатель степени — четное натуральное число, значит:

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$

$$Множество значений функции: $y\ge 0$

Схематический график функции:

3) $y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Показатель степени — положительное нецелое число, значит:

Область определения функции: $x\ge 0$

$$Область значения функции: $y\ge 0$

Схематический график функции:

4) $y = \sqrt[3]{x}$

Показатель степени — положительное нецелое число, значит:

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$

Область значения функции: $y\in \mathbb{R}$

Схематический график функции:

5) $y = x^{-2}$

Показатель степени — отрицательное четное целое число, значит:

Область определения функции: $x\mathrm{\ne }0$

Множество значений функции: $y>0$

Схематический график функции:

6) $y = x^{-3}$

Показатель степени — отрицательное нечетное целое число, значит:

Область определения функции: $x\mathrm{\ne }0$

Множество значений функции: $y\mathrm{\ne }0$

Схематический график функции:

1) $y = x^9$

Показатель степени — нечетное натуральное число:

Когда показатель степени является нечетным натуральным числом, то функция будет определена на всей числовой оси (R) и её значения могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от значения $x$.

• Если $x>0$, то $y>0$.
• Если $x<0$, то $y<0$.
• Если $x=0$, то $y=0$.

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$, так как функция $y=x^9$ определена для любого действительного числа.

Множество значений функции: $y\in \mathbb{R}$, так как для любого $x$ функция $x^9$ может принимать любое значение на числовой оси.

Схематический график функции:

График функции будет иметь форму кривой, проходящей через начало координат (точку
$(0, 0)$), и будет симметричен относительно начала координат. Для положительных $x$ график будет увеличиваться, а для отрицательных $x$ — уменьшаться, следуя характеристикам нечетных степеней.

2) $y = 7x^4$

Показатель степени — четное натуральное число:

Когда показатель степени является четным числом, то для любых x, график функции будет всегда неотрицателен. Это означает, что $y \geq 0$ для всех значений $x$.

• Если $x>0$, то $y>0$.
• Если $x=0$, то $y=0$.
• Если $x<0$, то $y>0$, так как при возведении в четную степень отрицательное число дает положительный результат.

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$, так как функция $y=7x^4$ определена для всех действительных чисел.

Множество значений функции: $y\ge 0$, так как функция всегда неотрицательна. При любых значениях $x$, результат всегда будет равен или больше нуля.

Схематический график функции:

• График будет симметричен относительно оси y (оси $x = 0$), так как $y = 7x^4$ для положительных и отрицательных $\mathrm{x\; имеет\; одинаковые\; значения.}$
• Он будет иметь форму параболы, которая будет направлена вверх, проходить через точку
  $(0, 0)$, и для $x$ стремящихся к бесконечности, значение $y$ будет стремиться к бесконечности.

3) $y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Показатель степени — положительное нецелое число:

В этом случае, функция определена только для неотрицательных значений x, так как квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.

• Если $x>0$, то $y>0$.
• Если $x=0$, то $y=0$.

Область определения функции: $x\ge 0$, так как для отрицательных значений $x$ выражение $x^{\frac{1}{2}}$ не имеет смысла в области действительных чисел.

Область значения функции: $y\ge 0$, так как квадратный корень всегда неотрицателен.

Схематический график функции:

График будет начинаться в точке ($$0,0)(0, 0) и возрастать, но с замедлением роста, так как для больших $x$ при возведении в степень $\frac{1}{2}$, рост значения $y$ замедляется.

4) $y = \sqrt[3]{x}$

Показатель степени — положительное нецелое число:

Для кубического корня из x функция будет определена для всех значений $x \in \mathbb{R}$, так как кубический корень из отрицательного числа существует.

• Если $x>0$, то $y>0$.
• Если $x=0$, то $y=0$.
• Если $x<0$, то $y < 0$, так как кубический корень из отрицательного числа — отрицательное число.

Область определения функции: $x\in \mathbb{R}$, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$определена для всех действительных чисел.

Область значения функции: $y\in \mathbb{R}$, так как кубический корень может быть как положительным, так и отрицательным числом, в зависимости от знака $x$.

Схематический график функции:

• График будет симметричен относительно начала координат, так как кубический корень из отрицательного числа также является отрицательным.
• График будет возрастать, но с более мягким наклоном, так как при увеличении x значения функции растут медленно.

5) $y = x^{-2}$

Показатель степени — отрицательное четное целое число:

При отрицательном четном показателе степени, функция определена для всех x, кроме нуля, так как деление на ноль невозможно.

• Если $x>0$, то $y > 0$
• Если $x<0$, то $y > 0$ (так как возведение в четную степень делает результат положительным).

Область определения функции: $x\mathrm{\ne }0$, так как выражение $x^{-2}$ не определено для $x = 0$.

Множество значений функции: $y>0$, так как при любом значении $x$, функция принимает положительные значения.

Схематический график функции:

• График будет стремиться к бесконечности при $x\to 0$ и будет симметричен относительно оси $y$ (оси $x=\mathrm{0).}$
• Он будет уменьшаться при удалении от нуля, но всегда оставаться положительным.

6) $y = x^{-3}$

Показатель степени — отрицательное нечетное целое число:

Для функции с таким показателем степени, область определения снова будет всё R, за исключением нуля, так как деление на ноль невозможно.

• Если $x>0$, то $y > 0$.
• Если $x<0$, то $y < 0$, так как возведение в нечетную степень сохраняет знак.

Область определения функции: $x\mathrm{\ne }0$, так как функция не определена при $x = 0$.

Множество значений функции: $y\mathrm{\ne }0$, так как функция никогда не принимает значение ноль (при $x = 0$ происходит деление на ноль).

Схематический график функции:

• График будет проходить через начало координат и стремиться к бесконечности при $x\to 0^{+}$, а к минус бесконечности при $x \to 0^-$.
• Он будет симметричен относительно начала координат, и для положительных значений x он будет располагаться в верхней части, а для отрицательных — в нижней.