ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 174 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1. корень (x2-3x+2) > x+3;
2. корень (2×2-7x-4) > -x-1/4.

1)$$\sqrt{x^2 — 3x + 2} > x + 3;$$

$$x^2 — 3x + 2 > x^2 + 6x + 9;$$

$$-9x > 7;$$

$$x < -\frac{7}{9};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 3x + 2 \geq 0;$$

$$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$$

$$(x — 1)(x — 2) \geq 0;$$

$$x \leq 1 \quad \text{и} \quad x \geq 2;$$

Неравенство всегда верно при:

$$x — 3 \leq 0;$$

$$x \leq 3;$$

Ответ: $x < -\frac{7}{9}$

2)$$\sqrt{2x^2 — 7x — 4} > -x — \frac{1}{4};$$

$$\sqrt{2x^2 — 7x — 4} > -(x + \frac{1}{4});$$

$$2x^2 — 7x — 4 \geq x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \quad | \cdot 16;$$

$$32x^2 — 112x — 64 > 16x^2 + 8x + 1;$$

$$16x^2 — 120x — 65 > 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x^2 — 7x — 4 \geq 0;$$

$$D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{7 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5;$$

$$x_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4;$$

$$(x + 0.5)(x — 4) \geq 0;$$

$$x \leq -0.5 \quad \text{и} \quad x \geq 4;$$

Неравенство всегда верно при:

$$-x — \frac{1}{4} \leq 0;$$

$$x + \frac{1}{4} \geq 0;$$

$$x \geq -\frac{1}{4};$$

Ответ: $x < \frac{15 — \sqrt{290}}{4}; \quad x \geq 4$

1) Решаем неравенство

$$\sqrt{x^2 — 3x + 2} > x + 3$$

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$x^2 — 3x + 2 \geq 0$$

Решаем квадратное неравенство. Находим корни уравнения:

$$x^2 — 3x + 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Корни:

$$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

Решаем знак неравенства $(x — 1)(x — 2) \geq 0$. Значения функции $x^2 — 3x + 2$ положительны при:

$$x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 2$$

Также правая часть неравенства $x + 3$ должна быть неотрицательной:

$$x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3$$

Шаг 2: Решаем неравенство без корня

Возведем обе части в квадрат:

$$x^2 — 3x + 2 > (x + 3)^2$$

Раскрываем скобки:

$$x^2 — 3x + 2 > x^2 + 6x + 9$$

Упрощаем:

$$-3x + 2 > 6x + 9$$

Переносим все влево:

$$-3x — 6x > 9 — 2$$

$$-9x > 7$$

$$x < -\frac{7}{9}$$

Шаг 3: Пересечение с ОДЗ

ОДЗ: $x \leq 1$ или $x \geq 2$.

Неравенство даёт $x < -\frac{7}{9}$.

Пересечение множеств:

$$x < -\frac{7}{9}$$

Ответ:$$x < -\frac{7}{9}$$

2) Решаем неравенство

$$\sqrt{2x^2 — 7x — 4} > -x — \frac{1}{4}$$

Шаг 1: ОДЗ

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$2x^2 — 7x — 4 \geq 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$

$$x_1 = \frac{7 — 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

$$x_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$$

Разбираем знак неравенства $(x + 0.5)(x — 4) \geq 0$:

$$x \leq -0.5 \quad \text{или} \quad x \geq 4$$

Также корень по определению не может быть отрицательным, значит:

$$\sqrt{2x^2 — 7x — 4} \geq 0$$

А это выполняется при всех $x$ из ОДЗ.

Правая часть неравенства:

$$-x — \frac{1}{4} \leq 0$$

$$x + \frac{1}{4} \geq 0$$

$$x \geq -\frac{1}{4}$$

Шаг 2: Возводим в квадрат

$$2x^2 — 7x — 4 > (-x — \frac{1}{4})^2$$

Раскрываем квадрат:

$$2x^2 — 7x — 4 > x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$$

Домножаем на 16:

$$32x^2 — 112x — 64 > 16x^2 + 8x + 1$$

Переносим все влево:

$$32x^2 — 112x — 64 — 16x^2 — 8x — 1 > 0$$

$$16x^2 — 120x — 65 > 0$$

Шаг 3: Решаем квадратное неравенство

Дискриминант:

$$D = (-120)^2 — 4 \cdot 16 \cdot (-65) = 14400 + 4160 = 18560$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{18560}}{2 \cdot 16}$$

$$x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{290} \cdot 4}{32}$$

$$x_{1,2} = \frac{120 \pm 4\sqrt{290}}{32} = \frac{15 \pm \sqrt{290}}{4}$$

Решаем знак неравенства $16x^2 — 120x — 65 > 0$:

Знаки функции чередуются, и $a = 16 > 0$, значит:

$$x < \frac{15 — \sqrt{290}}{4} \quad \text{или} \quad x > \frac{15 + \sqrt{290}}{4}$$

Шаг 4: Пересечение с ОДЗ

ОДЗ: $x \leq -0.5$ или $x \geq 4$

Неравенство дало: $x < \frac{15 — \sqrt{290}}{4}$ или $x > \frac{15 + \sqrt{290}}{4}$.

Ищем пересечение:

• $x < \frac{15 — \sqrt{290}}{4}$ и $x \leq -0.5$ → пересекаются, остаётся $x < \frac{15 — \sqrt{290}}{4}$.
• $x > \frac{15 + \sqrt{290}}{4}$ и $x \geq 4$ → пересекаются, остаётся $x \geq 4$.

Ответ:$$x < \frac{15 — \sqrt{290}}{4} \quad \text{или} \quad x \geq 4$$