ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 173 Алимов — Подробные Ответы

1. корень x < =2x;
2. корень x > 0,5x;
3. корень x > =2x-1;
4. корень x > = x2.

1)

$\sqrt{x} \leq 2x$

• 
  $y = \sqrt{x}$ 

  — уравнение ветви параболы:

  $x$	0	0.5	1	2.25
  $y$	0	0.25	1	1.5

• 
  $y = 2x$ 

  — уравнение прямой:

  $x$	0	0.5
  $y$	0	1

• Графики функций:
• Ответ:
  $x \geq 0.25$ 

  .

2)

$\sqrt{x} > 0.5x$

• 
  $y = \sqrt{x}$ 

  — уравнение ветви параболы:

  $x$	0	1	4	9
  $y$	0	1	2	3

• 
  $y = 0.5x$ 

  — уравнение прямой:

  $x$	0	2
  $y$	0	1

• Графики функций:
• Ответ:
  $0 < x < 4$ 

  .

3)

$\sqrt{x} \geq 2x — 1$

• 
  $y = \sqrt{x}$ 

  — уравнение ветви параболы:

  $x$	0	1	4	9
  $y$	0	1	2	3

• 
  $y = 2x — 1$ 

  — уравнение прямой:

  $x$	0	1
  $y$	-1	1

• Графики функций:
• Ответ:
  $0 \leq x \leq 1$ 

  .

4)

$\sqrt{x} \geq x^2$

• 
  $y = \sqrt{x}$ 

  — уравнение ветви параболы:

  $x$	0	1	4	9
  $y$	0	1	2	3

• 
  $y = x^2$ 

  — уравнение параболы:

  $x$	0	1	2	3
  $y$	0	1	4	9

• Графики функций:
• Ответ:
  $0 \leq x \leq 1$ 

  .

1) Решение неравенства

$\sqrt{x} \leq 2x$

Шаг 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ)

Функция

$\sqrt{x}$

определена при

$x \geq 0$

, а правая часть выражения

$2x$

определена для всех

$x$

.
Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) —

$x \geq 0$

.

Шаг 2. Возведение в квадрат

Возведём обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$(\sqrt{x})^2 \leq (2x)^2$$

$$x \leq 4x^2$$

Шаг 3. Приведение к стандартному виду

Переносим всё в одну сторону:

$$4x^2 — x \geq 0$$

Шаг 4. Решение квадратного неравенства

Рассмотрим квадратное уравнение:

$$4x^2 — x = 0$$

Вынесем общий множитель

$x$

:

$$x(4x — 1) = 0$$

Найдём корни:

$$x = 0, \quad 4x — 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$$

Шаг 5. Анализ знаков

Рассмотрим произведение

$x(4x — 1)$

на числовой оси:

• При
  $x < 0$ 

  знак отрицательный (не подходит, так как $x \geq 0$ 

  ).

• При
  $0 < x < \frac{1}{4}$ 

  знак отрицательный.

• При
  $x > \frac{1}{4}$ 

  знак положительный (подходит).

Так как нам нужно

$4x^2 — x \geq 0$

, выбираем промежуток:

$$x \geq \frac{1}{4}$$

Шаг 6. Запись ответа

$$x \geq 0.25$$

2) Решение неравенства

$\sqrt{x} > 0.5x$

Шаг 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ)

Корень определён при

$x \geq 0$

, поэтому ОДЗ:

$x \geq 0$

.

Шаг 2. Возведение в квадрат

Квадрат обеих частей:

$$(\sqrt{x})^2 > (0.5x)^2$$

$$x > 0.25x^2$$

Шаг 3. Приведение к стандартному виду

$$0.25x^2 — x < 0$$

Шаг 4. Решение квадратного неравенства

Рассмотрим уравнение:

$$0.25x^2 — x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x(0.25x — 1) = 0$$

Корни уравнения:

$$x = 0, \quad 0.25x — 1 = 0 \Rightarrow x = 4$$

Шаг 5. Анализ знаков

Промежутки:

• При
  $x < 0$ 

  знак отрицательный (не учитываем из-за ОДЗ).

• При
  $0 < x < 4$ 

  знак положительный (подходит).

• При
  $x > 4$ 

  знак отрицательный.

Так как нам нужно

$0.25x^2 — x < 0$

, выбираем:

$$0 < x < 4$$

Шаг 6. Запись ответа

$$0 < x < 4$$

3) Решение неравенства

$\sqrt{x} \geq 2x — 1$

Шаг 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ)

ОДЗ:

• 
  $\sqrt{x}$ 

  определено при $x \geq 0$ 

  .

• 
  $2x — 1$ 

  должно быть неотрицательным: 

  $$2x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$$ 

• Общая ОДЗ:
  $x \geq 0$ 

  .

Шаг 2. Возведение в квадрат

$$(\sqrt{x})^2 \geq (2x — 1)^2$$

$$x \geq 4x^2 — 4x + 1$$

Шаг 3. Приведение к стандартному виду

$$4x^2 — 5x + 1 \leq 0$$

Шаг 4. Решение квадратного неравенства

Дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 — 16 = 9$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{8}$$

$$x_1 = \frac{5 — 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

Шаг 5. Анализ знаков

Квадратный трёхчлен

$4x^2 — 5x + 1$

принимает отрицательные значения между корнями:

$$\frac{1}{4} \leq x \leq 1$$

С учётом ОДЗ:

$x \geq 0$

, окончательный ответ:

$$0 \leq x \leq 1$$

4) Решение неравенства

$\sqrt{x} \geq x^2$

Шаг 1. Определим область допустимых значений (ОДЗ)

ОДЗ:

$x \geq 0$

.

Шаг 2. Возведение в квадрат

$$(\sqrt{x})^2 \geq (x^2)^2$$

$$x \geq x^4$$

Шаг 3. Приведение к стандартному виду

$$x — x^4 \geq 0$$

Шаг 4. Разложение на множители

$$x(1 — x^3) \geq 0$$

Рассматриваем уравнение

$1 — x^3 = 0$

:

$$x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$$

Шаг 5. Анализ знаков

• При
  $x < 1$ 

  знак $(1 — x^3)$ 

  положительный, $x$ 

  положительный.

• При
  $x > 1$ 

  знак $(1 — x^3)$ 

  отрицательный.

Тогда:

$$0 \leq x \leq 1$$

Шаг 6. Запись ответа

$$0 \leq x \leq 1$$