ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 172 Алимов — Подробные Ответы

1. корень x > =x;
2. корень x < x;
3. корень x > =2x-1;
4. корень x > =x2.

1)

$\sqrt{x} \geq x$

• 
  $y = \sqrt{x}$ 

  — уравнение ветви параболы:

  $x$	0	1	4	9
  $y$	0	1	2	3

• 
  $y = x$ 

  — уравнение прямой:

  $x$	0	1
  $y$	0	1

• Графики функций:
• Ответ:
  $0 \leq x \leq 1$ 

  .

2)

$\sqrt{x} < x$

• 
  $y = \sqrt{x}$ 

  — уравнение ветви параболы:

  $x$	0	1	4	9
  $y$	0	1	2	3

• 
  $y = x$ 

  — уравнение прямой:

  $x$	0	1
  $y$	0	1

• Графики функций:
• Ответ:
  $x > 1$ 

  .

3)

$\sqrt{x} > x — 2$

• 
  $y = \sqrt{x}$ 

  — уравнение ветви параболы:

  $x$	0	1	4	9
  $y$	0	1	2	3

• 
  $y = x — 2$ 

  — уравнение прямой:

  $x$	0	1
  $y$	-2	-1

• Графики функций:
• Ответ:
  $0 \leq x < 4$ 

  .

4)

$\sqrt{x} \leq x — 2$

• 
  $y = \sqrt{x}$ 

  — уравнение ветви параболы:

  $x$	0	1	4	9
  $y$	0	1	2	3

• 
  $y = x — 2$ 

  — уравнение прямой:

  $x$	0	1
  $y$	-2	-1

• Графики функций:
• Ответ:
  $x \geq 4$ 

  .

Задача 1:

$\sqrt{x} \geq x$

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x} \geq x$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Функция

$\sqrt{x}$

определена только при

$x \geq 0$

, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

2. Решение методом возведения в квадрат

Так как оба выражения в неравенстве неотрицательны при

$x \geq 0$

, возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x})^2 \geq x^2$$

$$x \geq x^2$$

$$x — x^2 \geq 0$$

$$x(1 — x) \geq 0$$

3. Решение квадратного неравенства

Рассмотрим параболу

$y = x(1 — x)$

. Она пересекает ось

$x$

в точках:

$$x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1$$

Так как коэффициент при

$x^2$

отрицательный (

$-x^2$

), ветви параболы направлены вниз. Неравенство

$x(1 — x) \geq 0$

выполняется между корнями:

$$0\le x\le 1$$

$$0 \leq x \leq 1$$

Ответ:

$$0 \leq x \leq 1$$

Задача 2:

$\sqrt{x} < x$

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x} < x$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Функция

$\sqrt{x}$

определена только при

$x \geq 0$

.

2. Возведение в квадрат

Так как обе части неотрицательны при

$x \geq 0$

, возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x})^2 < x^2$$

$$x < x^2$$

$$x — x^2 < 0$$

$$x(1 — x) < 0$$

3. Решение квадратного неравенства

Как и в предыдущей задаче, парабола

$x(1 — x)$

пересекает ось

$x$

в точках

$x = 0$

и

$x = 1$

. Так как ветви направлены вниз, неравенство

$x(1 — x) < 0$

выполняется на интервале:

$$x > 1$$

Ответ:

$$x > 1$$

Задача 3:

$\sqrt{x} > x — 2$

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x} > x — 2$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Функция

$\sqrt{x}$

определена при

$x \geq 0$

.

2. Возведение в квадрат

Возводим обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны при

$x \geq 0$

):

$$(\sqrt{x})^2 > (x — 2)^2$$

$$x > x^2 — 4x + 4$$

$$x — x^2 + 4x — 4 > 0$$

$$— x^2 + 5x — 4 > 0$$

$$x^2 — 5x + 4 < 0$$

3. Решение квадратного неравенства

Рассмотрим квадратное уравнение:

$$x^2 — 5x + 4 = 0$$

Находим корни по теореме Виета:

$$(x — 1)(x — 4) = 0$$

Получаем точки пересечения

$x = 1$

и

$x = 4$

.
Так как коэффициент при

$x^2$

положительный, ветви параболы направлены вверх. Неравенство

$x^2 — 5x + 4 < 0$

выполняется между корнями:

$$1 < x < 4$$

С учетом ОДЗ (

$x \geq 0$

), добавляем точку 0:

$$0 \leq x < 4$$

Ответ:

$$0 \leq x < 4$$

Задача 4:

$\sqrt{x} \leq x — 2$

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x} \leq x — 2$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Функция

$\sqrt{x}$

определена при

$x \geq 0$

. Также выражение

$x — 2$

должно быть неотрицательным, так как корень не может быть больше отрицательного числа:

$$x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$$

Таким образом, ОДЗ:

$$x \geq 2$$

2. Возведение в квадрат

Возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x})^2 \leq (x — 2)^2$$

$$x \leq x^2 — 4x + 4$$

$$x — x^2 + 4x — 4 \leq 0$$

$$— x^2 + 5x — 4 \leq 0$$

$$x^2 — 5x + 4 \geq 0$$

3. Решение квадратного неравенства

Рассматриваем уравнение:

$$x^2 — 5x + 4 = 0$$

Его корни:

$$(x — 1)(x — 4) = 0$$

Так как коэффициент при

$x^2$

положительный, ветви параболы направлены вверх. Неравенство

$x^2 — 5x + 4 \geq 0$

выполняется вне корней:

$$x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 4$$

4. Учет ОДЗ

С учетом

$x \geq 2$

остается только

$x \geq 4$

.

Ответ:

$$x \geq 4$$