ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 172 Алимов — Подробные Ответы

Решить графически неравенство (172-173).

1. корень x > =x;
2. корень x < x;
3. корень x > =2x-1;
4. корень x > =x2.

1) $\sqrt{x} \geq x$

$y = \sqrt{x}$— уравнение ветви параболы:

$y = x$— уравнение прямой:

• Графики функций:

Ответ: $0\le x\le 1$

2) $\sqrt{x} < x$

$y = \sqrt{x}$— уравнение ветви параболы:

$y = x$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x>1$

$$3) $\sqrt{x} > x — 2$

$y = \sqrt{x}$— уравнение ветви параболы:

$y = x — 2$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $0\le x<4$

$\mathrm{}$4) $\sqrt{x} \leq x — 2$

$y = \sqrt{x}$— уравнение ветви параболы:

$y = x — 2$ — уравнение прямой:

Графики функций:

Ответ: $x\ge 4$
$x \geq 4$

Задача 1:

$\sqrt{x} \geq x$

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x} \geq x$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Функция $\sqrt{x}$ определена только при $x \geq 0$, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

2. Решение методом возведения в квадрат

Так как оба выражения в неравенстве неотрицательны при $x \geq 0$, возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x})^2 \geq x^2$$

$$x \geq x^2$$

$$x — x^2 \geq 0$$

$$x(1 — x) \geq 0$$

3. Решение квадратного неравенства

Рассмотрим параболу $y = x(1 — x)$. Она пересекает ось $x$ в точках:

$$x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1$$

Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-x^2$), ветви параболы направлены вниз. Неравенство $x(1 — x) \geq 0$выполняется между корнями:

$$0\le x\le 1$$

Ответ:$$0 \leq x \leq 1$$

Задача 2:

$\sqrt{x} < x$

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x} < x$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Функция $\sqrt{x}$определена только при $x \geq 0$.

2. Возведение в квадрат

Так как обе части неотрицательны при $x \geq 0$, возводим обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x})^2 < x^2$$

$$x < x^2$$

$$x — x^2 < 0$$

$$x(1 — x) < 0$$

3. Решение квадратного неравенства

Как и в предыдущей задаче, парабола $x(1 — x)$ пересекает ось $x$ в точках $x = 0$ и $x = 1$. Так как ветви направлены вниз, неравенство $x(1 — x) < 0$ выполняется на интервале:

$$x > 1$$

Ответ:$$x > 1$$

Задача 3:

$\sqrt{x} > x — 2$

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x} > x — 2$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Функция $\sqrt{x}$определена при $x \geq 0$.

2. Возведение в квадрат

Возводим обе части в квадрат (так как обе части неотрицательны при $x \geq 0$):

$$(\sqrt{x})^2 > (x — 2)^2$$

$$x > x^2 — 4x + 4$$

$$x — x^2 + 4x — 4 > 0$$

$$— x^2 + 5x — 4 > 0$$

$$x^2 — 5x + 4 < 0$$

3. Решение квадратного неравенства

Рассмотрим квадратное уравнение:

$$x^2 — 5x + 4 = 0$$

Находим корни по теореме Виета:

$$(x — 1)(x — 4) = 0$$

Получаем точки пересечения $x = 1$ и $x = 4$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $x^2 — 5x + 4 < 0$ выполняется между корнями:

$$1 < x < 4$$

С учетом ОДЗ ($x \geq 0$), добавляем точку 0:

$$0 \leq x < 4$$

Ответ:$$0 \leq x < 4$$

Задача 4:

$\sqrt{x} \leq x — 2$

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x} \leq x — 2$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Функция $\sqrt{x}$определена при $x \geq 0$. Также выражение $x — 2$ должно быть неотрицательным, так как корень не может быть больше отрицательного числа:

$$x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$$

Таким образом, ОДЗ:

$$x \geq 2$$

2. Возведение в квадрат

Возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x})^2 \leq (x — 2)^2$$

$$x \leq x^2 — 4x + 4$$

$$x — x^2 + 4x — 4 \leq 0$$

$$— x^2 + 5x — 4 \leq 0$$

$$x^2 — 5x + 4 \geq 0$$

3. Решение квадратного неравенства

Рассматриваем уравнение:

$$x^2 — 5x + 4 = 0$$

Его корни:

$$(x — 1)(x — 4) = 0$$

Так как коэффициент при $x^2$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $x^2 — 5x + 4 \geq 0$выполняется вне корней:

$$x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 4$$

4. Учет ОДЗ

С учетом $x \geq 2$ остается только $x \geq 4$.

Ответ:$$x \geq 4$$