ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 171 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (x+1) — корень x < корень (x-1);
2. орень (x+3) < корень (7-x) + корень (10-x).

1)

$$\sqrt{x+1} — \sqrt{x} < \sqrt{x-1};$$

$$\sqrt{x+1} — \sqrt{x} < \sqrt{x};$$

$$x + 1 — 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + x — 1 < x;$$

$$x < 2\sqrt{x^2 — 1};$$

$$x^2 < 4(x^2 — 1);$$

$$x^2 < 4x^2 — 4;$$

$$-3x^2 < -4;$$

$$x^2 > \frac{4}{3};$$

$$x < -\frac{2}{\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad x > \frac{2}{\sqrt{3}};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1;$$

$$x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1;$$

$$x \geq 0;$$

Ответ:

$x > \frac{2}{\sqrt{3}}$

2)

$$\sqrt{x+3} < \sqrt{7-x} + \sqrt{10-x};$$

$$x + 3 < 7 — x + 2\sqrt{(7-x)(10-x)} + 10 — x;$$

$$3x — 14 < 2\sqrt{70 — 7x — 10x + x^2};$$

$$9x^2 — 84x + 196 < 4(70 — 17x + x^2);$$

$$9x^2 — 84x + 196 < 280 — 68x + 4x^2;$$

$$5x^2 — 16x — 84 < 0;$$

$$D = 16^2 + 4 \cdot 5 \cdot 84 = 256 + 1680 = 1936,$$

тогда:

$$x_1 = \frac{16 — 44}{2 \cdot 5} = \frac{-28}{10} = -2.8;$$

$$x_2 = \frac{16 + 44}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6;$$

$$(x + 2.8)(x — 6) < 0;$$

$$-2.8 < x < 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -3;$$

$$7 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 7;$$

$$10 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 10;$$

Неравенство всегда верно при:

$$3x — 14 \leq 0;$$

$$3x \leq 14;$$

$$x \leq 4\frac{2}{3};$$

Ответ:

$-3 \leq x < 6$

.

Задача 1

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x+1} — \sqrt{x} < \sqrt{x-1}$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Корни определены при неотрицательном выражении под корнем:

$$x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$$

$$x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$

Поскольку оба должны выполняться одновременно, получаем:

$$x \geq 1$$

2. Преобразование неравенства

Добавим и уберем

$\sqrt{x}$

:

$$\sqrt{x+1} — \sqrt{x} < \sqrt{x-1}$$

$$\sqrt{x+1} — \sqrt{x} < \sqrt{x}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(\sqrt{x+1} — \sqrt{x})^2 < x$$

Раскрываем скобки:

$$x + 1 — 2\sqrt{(x+1)x} + x < x$$

$$x + 1 + x — 2\sqrt{(x+1)x} < x$$

Упрощаем:

$$x + 1 — 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + x — 1 < x$$

$$x < 2\sqrt{x^2 — 1}$$

3. Возведение в квадрат

$$x^2 < 4(x^2 — 1)$$

$$x^2 < 4x^2 — 4$$

$$-3x^2 < -4$$

$$x^2 > \frac{4}{3}$$

4. Решение неравенства

Решаем:

$$x < -\frac{2}{\sqrt{3}} \quad \text{или} \quad x > \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Но с учетом ОДЗ

$x \geq 1$

, подходит только:

$$x > \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Ответ:

$$x > \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Задача 2

Рассмотрим неравенство:

$$\sqrt{x+3} < \sqrt{7-x} + \sqrt{10-x}$$

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

$$x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$$

$$7 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 7$$

$$10 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 10$$

Общий диапазон:

$$-3 \leq x \leq 7$$

2. Возведение в квадрат

$$x + 3 < 7 — x + 2\sqrt{(7-x)(10-x)} + 10 — x$$

$$3x — 14 < 2\sqrt{70 — 7x — 10x + x^2}$$

3. Возведение в квадрат снова

$$(3x — 14)^2 < 4(70 — 17x + x^2)$$

$$9x^2 — 84x + 196 < 280 — 68x + 4x^2$$

$$5x^2 — 16x — 84 < 0$$

4. Решение квадратного неравенства

Дискриминант:

$$D = (-16)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-84) = 256 + 1680 = 1936$$

Корни:

$$x_1 = \frac{16 — 44}{10} = -2.8$$

$$x_2 = \frac{16 + 44}{10} = 6$$

Знак неравенства «<» означает, что решение между корнями:

$$-2.8 < x < 6$$

5. Учет ОДЗ

Пересекаем с

$-3 \leq x \leq 7$

:

$$-3 \leq x < 6$$

Ответ:

$$-3 \leq x < 6$$