ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 17 Алимов — Подробные Ответы

1. lim n- > бесконечность 1/4n;
2. lim n- > бесконечность (0,2)n;
3. lim n- > бесконечность (1 + 1/7n);
4. lim n- > бесконечность ((3/5)n — 2);

Число вида $x^n$, где $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$, при увеличении числа $n$ бесконечно уменьшается, поэтому в данном случае ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}^n=0$

1. ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{4^n}={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n=0$
2. ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(0,2{)}^n=0$
3. ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{7^n})={\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(1+{\left(\frac{1}{7}\right)}^n)=1+0=1$
4. ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}({\left(\frac{3}{5}\right)}^n-2)=0-2=-2$

Тема: Пределы последовательностей вида $x^n$, где $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$.
Теоретическая основа:
Если $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$, то при $n\to \mathrm{\infty }$, $x^n\to 0$.
Это связано с тем, что при постоянном умножении на число по модулю меньше 1 результат становится всё меньше и стремится к нулю.

1)

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{4^n}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{1}{4^n}={\left(\frac{1}{4}\right)}^n$$

Теперь используем основное свойство:

$$\mid \frac{1}{4}\mid =\mathrm{0,25}<1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^n=0$$

Ответ:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{4^n}=0$$

2)

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\mathrm{0,2}{)}^n$$

Здесь $x=\mathrm{0,2}$, и

$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=\mathrm{0,2}<1\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\mathrm{0,2}{)}^n=0$$

Ответ:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\mathrm{0,2}{)}^n=0$$

3)

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{7^n})$$

Распишем дробь как степень:

$$\frac{1}{7^n}={\left(\frac{1}{7}\right)}^n$$

Так как $\mid \frac{1}{7}\mid <1$, то:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{1}{7}\right)}^n=0$$

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+{\left(\frac{1}{7}\right)}^n)=1+0=1$$

Ответ:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{7^n})=1$$

4)

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }({\left(\frac{3}{5}\right)}^n-2)$$

Анализируем отдельно:

$$\mid \frac{3}{5}\mid =\mathrm{0,6}<1\Rightarrow {\left(\frac{3}{5}\right)}^n\to 0\text{ при }n\to \mathrm{\infty }$$

Подставляем в выражение:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }({\left(\frac{3}{5}\right)}^n-2)=0-2=-2$$

Ответ:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }({\left(\frac{3}{5}\right)}^n-2)=-2$$

✅ Итог:

1. ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{4^n}=0$
2. ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(\mathrm{0,2}{)}^n=0$
3. ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{7^n})=1$
4. ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}({\left(\frac{3}{5}\right)}^n-2)=-2$