ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 17 Алимов — Подробные Ответы

1. lim n- > бесконечность 1/4n;
2. lim n- > бесконечность (0,2)n;
3. lim n- > бесконечность (1 + 1/7n);
4. lim n- > бесконечность ((3/5)n — 2);

Число вида $x^n$, где $|x| < 1$, при увеличении числа $n$ бесконечно уменьшается, поэтому в данном случае $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{4} \right)^n = 0$
2. $\lim_{n \to \infty} (0,2)^n = 0$
3. $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{7^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \left( \frac{1}{7} \right)^n \right) = 1 + 0 = 1$
4. $\lim_{n \to \infty} \left( \left( \frac{3}{5} \right)^n — 2 \right) = 0 — 2 = -2$

Тема: Пределы последовательностей вида $x^n$, где $|x| < 1$.
Теоретическая основа:
Если $|x| < 1$, то при $n \to \infty$, $x^n \to 0$.
Это связано с тем, что при постоянном умножении на число по модулю меньше 1 результат становится всё меньше и стремится к нулю.

1)

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n}$$

Преобразуем выражение:

$$\frac{1}{4^n} = \left( \frac{1}{4} \right)^n$$

Теперь используем основное свойство:

$$\left| \frac{1}{4} \right| = 0{,}25 < 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{4} \right)^n = 0$$

Ответ:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n} = 0$$

2)

$$\lim_{n \to \infty} (0{,}2)^n$$

Здесь $x = 0{,}2$, и

$$|x| = 0{,}2 < 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (0{,}2)^n = 0$$

Ответ:

$$\lim_{n \to \infty} (0{,}2)^n = 0$$

3)

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{7^n} \right)$$

Распишем дробь как степень:

$$\frac{1}{7^n} = \left( \frac{1}{7} \right)^n$$

Так как $\left| \frac{1}{7} \right| < 1$, то:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{7} \right)^n = 0$$

Теперь возвращаемся к исходному выражению:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \left( \frac{1}{7} \right)^n \right) = 1 + 0 = 1$$

Ответ:

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{7^n} \right) = 1$$

4)

$$\lim_{n \to \infty} \left( \left( \frac{3}{5} \right)^n — 2 \right)$$

Анализируем отдельно:

$$\left| \frac{3}{5} \right| = 0{,}6 < 1 \Rightarrow \left( \frac{3}{5} \right)^n \to 0 \text{ при } n \to \infty$$

Подставляем в выражение:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \left( \frac{3}{5} \right)^n — 2 \right) = 0 — 2 = -2$$

Ответ:

$$\lim_{n \to \infty} \left( \left( \frac{3}{5} \right)^n — 2 \right) = -2$$

✅ Итог:

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{4^n} = 0$
2. $\lim_{n \to \infty} (0{,}2)^n = 0$
3. $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{7^n} \right) = 1$
4. $\lim_{n \to \infty} \left( \left( \frac{3}{5} \right)^n — 2 \right) = -2$