ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 169 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (2×2+3x-2) > 0;
2. корень (2+x-x2) > -1;
3. корень (6-x2) < корень 5;
4. корень (x2-x) > корень 2;
5. корень (x2+2x) > -3-x2;
6. корень (4x-x2) > -2-3×2.

1)$\sqrt{2x^2 + 3x — 2} > 0$

$2x^2 + 3x — 2 > 0$

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

$(x + 2)(x — 0.5) > 0$

$x < -2$ и $x > 0.5$

Ответ: $x < -2$; $x > 0.5$

2) $\sqrt{2 + x — x^2} > -1$

Верно при любом допустимом значении $x$

Выражение имеет смысл при:

$2 + x — x^2 \geq 0$

$x^2 — x — 2 \leq 0$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$(x + 1)(x — 2) \leq 0$

$-1 \leq x \leq 2$

Ответ: $-1 \leq x \leq 2$

3) $\sqrt{6x — x^2} \leq \sqrt{5}$

$6x — x^2 \leq 5$

$x^2 — 6x + 5 \geq 0$

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$

$(x — 1)(x — 5) \geq 0$

$x \leq 1$ и $x \geq 5$

Выражение имеет смысл при: $6x — x^2 \geq 0$

$x^2 — 6x \leq 0$

$x(x — 6) \leq 0$

$0 \leq x \leq 6$

Ответ: $0 \leq x \leq 1$; $5 \leq x \leq 6$

4) $\sqrt{x^2 — x} > \sqrt{2}$

$x^2 — x > 2$

$x^2 — x — 2 > 0$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$(x + 1)(x — 2) > 0$

$x < -1$ и $x > 2$

Выражение имеет смысл при: $x^2 — x \geq 0$

$x(x — 1) \geq 0$

$x \leq 0$ и $x \geq 1$

Ответ: $x < -1$; $x > 2$

5) $\sqrt{x^2 + 2x} > -3 — x^2$

$\sqrt{x^2 + 2x} > -(x^2 + 3)$

Верно при любом допустимом значении $x$

Выражение имеет смысл при: $x^2 + 2x \geq 0$

$(x + 2)x \geq 0$

$x \leq -2$ и $x \geq 0$

Ответ: $x \leq -2$; $x \geq 0$

6) $\sqrt{4x — x^2} > -2 — 3x^2$

$\sqrt{4x — x^2} > -(3x^2 + 2)$

Верно при любом допустимом значении $x$

Выражение имеет смысл при: $4x — x^2 \geq 0$

$x^2 — 4x \leq 0$

$x(x — 4) \leq 0$

$0 \leq x \leq 4$

Ответ: $0 \leq x \leq 4$

1) Решение неравенства

$$\sqrt{2x^2 + 3x — 2} > 0$$

Шаг 1: Условия существования корня

Корень определён, если выражение под ним неотрицательно:

$$2x^2 + 3x — 2 \geq 0$$

Но в неравенстве строгое «>», а корень всегда$\geq 0$. Значит, рассматриваем:

$$2x^2 + 3x — 2 > 0$$

Шаг 2: Решение квадратного неравенства

Решаем уравнение:

$$2x^2 + 3x — 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$

$$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$$

Шаг 3: Знаки на промежутках

Знаки определяем по схеме знаков квадратного трехчлена:

Расставляем корни на числовой прямой: $x=-2$ и $x=0.5$$x = 0.5$

Знаки чередуются, так как коэффициент при $x^2$ положительный.
$x^2$Области $2x^2+3x-2>0$ — внешние промежутки.
$2x^2 + 3x — 2 > 0$

$$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 0.5$$

Ответ:$$x < -2, \quad x > 0.5$$

2) Решение неравенства

$$\sqrt{2 + x — x^2} > -1$$

Шаг 1: Анализ

Так как $\sqrt{A} \geq 0$ всегда, а в правой части -1, неравенство всегда верно для допустимых $x$.

Шаг 2: Найдём область допустимых значений

Подкоренное выражение должно быть$\geq 0$:

$$2 + x — x^2 \geq 0$$

$$x^2 — x — 2 \leq 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

По схеме знаков, $(x + 1)(x — 2) \leq 0$ выполняется внутри интервала:

$$-1 \leq x \leq 2$$

Ответ:$$-1 \leq x \leq 2$$

3) Решение неравенства

$$\sqrt{6x — x^2} \leq \sqrt{5}$$

Шаг 1: Возводим в квадрат

$$6x — x^2 \leq 5$$

Шаг 2: Переносим всё в одну часть

$$x^2 — 6x + 5 \geq 0$$

Находим корни:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

$$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Шаг 3: Анализ знаков

$(x — 1)(x — 5) \geq 0$ вне корней:

$$x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 5$$

Шаг 4: ОДЗ

$$6x — x^2 \geq 0$$

$$x(x — 6) \leq 0$$

$$0 \leq x \leq 6$$

Шаг 5: Пересечение

Общие значения:

$$0 \leq x \leq 1, \quad 5 \leq x \leq 6$$

Ответ:$$0 \leq x \leq 1, \quad 5 \leq x \leq 6$$

4) Решение неравенства

$$\sqrt{x^2 — x} > \sqrt{2}$$

Шаг 1: Возводим в квадрат

$$x^2 — x > 2$$

Шаг 2: Переносим всё в одну часть

$$x^2 — x — 2 > 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Шаг 3: Анализ знаков

$(x + 1)(x — 2) > 0$ выполняется вне корней:

$$x < -1, \quad x > 2$$

Шаг 4: ОДЗ

$$x^2 — x \geq 0$$

$$x(x — 1) \geq 0$$

Решение:

$x \leq 0$ или $x \geq 1$

Шаг 5: Пересечение

$$x < -1, \quad x > 2$$

Ответ:$$x < -1, \quad x > 2$$

5) Решение неравенства

$$\sqrt{x^2 + 2x} > -3 — x^2$$

Так как корень всегда неотрицателен, а $-3 — x^2$ всегда отрицателен или ноль, неравенство всегда верно.

Шаг 1: ОДЗ

$$x^2 + 2x \geq 0$$

$$x(x + 2) \geq 0$$

Решение:

$$x \leq -2, \quad x \geq 0$$

Ответ:$$x \leq -2, \quad x \geq 0$$

6) Решение неравенства

$$\sqrt{4x — x^2} > -2 — 3x^2$$

Правая часть всегда$\leq -2$, а левая$\geq 0$, неравенство всегда верно.

Шаг 1: ОДЗ

$$4x — x^2 \geq 0$$

$$x(x — 4) \leq 0$$

$$0 \leq x \leq 4$$

Ответ:$$0 \leq x \leq 4$$