ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 169 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (2×2+3x-2) > 0;
2. корень (2+x-x2) > -1;
3. корень (6-x2) < корень 5;
4. корень (x2-x) > корень 2;
5. корень (x2+2x) > -3-x2;
6. корень (4x-x2) > -2-3×2.

1)

$\sqrt{2x^2 + 3x — 2} > 0$

;

$2x^2 + 3x — 2 > 0$

;

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$

, тогда:

$x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

;

$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

;

$(x + 2)(x — 0.5) > 0$

;

$x < -2$

и

$x > 0.5$

;

Ответ:

$x < -2$

;

$x > 0.5$

.

2)

$\sqrt{2 + x — x^2} > -1$

;

Верно при любом допустимом значении

$x$

;

Выражение имеет смысл при:

$2 + x — x^2 \geq 0$

;

$x^2 — x — 2 \leq 0$

;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$

, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$

и

$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

;

$(x + 1)(x — 2) \leq 0$

;

$-1 \leq x \leq 2$

;

Ответ:

$-1 \leq x \leq 2$

.

3)

$\sqrt{6x — x^2} \leq \sqrt{5}$

;

$6x — x^2 \leq 5$

;

$x^2 — 6x + 5 \geq 0$

;

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$

, тогда:

$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1$

и

$x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$

;

$(x — 1)(x — 5) \geq 0$

;

$x \leq 1$

и

$x \geq 5$

;

Выражение имеет смысл при:

$6x — x^2 \geq 0$

;

$x^2 — 6x \leq 0$

;

$x(x — 6) \leq 0$

;

$0 \leq x \leq 6$

;

Ответ:

$0 \leq x \leq 1$

;

$5 \leq x \leq 6$

.

4)

$\sqrt{x^2 — x} > \sqrt{2}$

;

$x^2 — x > 2$

;

$x^2 — x — 2 > 0$

;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$

, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$

и

$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$

;

$(x + 1)(x — 2) > 0$

;

$x < -1$

и

$x > 2$

;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 — x \geq 0$

;

$x(x — 1) \geq 0$

;

$x \leq 0$

и

$x \geq 1$

;

Ответ:

$x < -1$

;

$x > 2$

.

5)

$\sqrt{x^2 + 2x} > -3 — x^2$

;

$\sqrt{x^2 + 2x} > -(x^2 + 3)$

;

Верно при любом допустимом значении

$x$

;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 2x \geq 0$

;

$(x + 2)x \geq 0$

;

$x \leq -2$

и

$x \geq 0$

;

Ответ:

$x \leq -2$

;

$x \geq 0$

.

6)

$\sqrt{4x — x^2} > -2 — 3x^2$

;

$\sqrt{4x — x^2} > -(3x^2 + 2)$

;

Верно при любом допустимом значении

$x$

;

Выражение имеет смысл при:

$4x — x^2 \geq 0$

;

$x^2 — 4x \leq 0$

;

$x(x — 4) \leq 0$

;

$0 \leq x \leq 4$

;

Ответ:

$0 \leq x \leq 4$

.

1) Решение неравенства

$$\sqrt{2x^2 + 3x — 2} > 0$$

Шаг 1: Условия существования корня

Корень определён, если выражение под ним неотрицательно:

$$2x^2 + 3x — 2 \geq 0$$

Но в неравенстве строгое «>», а корень всегда

$\geq 0$

. Значит, рассматриваем:

$$2x^2 + 3x — 2 > 0$$

Шаг 2: Решение квадратного неравенства

Решаем уравнение:

$$2x^2 + 3x — 2 = 0$$

Дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$

$$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$$

Шаг 3: Знаки на промежутках

Знаки определяем по схеме знаков квадратного трехчлена:

• Расставляем корни на числовой прямой:
  $x = -2$ 

  и $x = 0.5$ 

  .

• Знаки чередуются, так как коэффициент при
  $x^2$ 

  положительный.

• Области
  $2x^2 + 3x — 2 > 0$ 

  — внешние промежутки.

$$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 0.5$$

Ответ:

$$x < -2, \quad x > 0.5$$

2) Решение неравенства

$$\sqrt{2 + x — x^2} > -1$$

Шаг 1: Анализ

Так как

$\sqrt{A} \geq 0$

всегда, а в правой части -1, неравенство всегда верно для допустимых

$x$

.

Шаг 2: Найдём область допустимых значений

Подкоренное выражение должно быть

$\geq 0$

:

$$2 + x — x^2 \geq 0$$

$$x^2 — x — 2 \leq 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

По схеме знаков,

$(x + 1)(x — 2) \leq 0$

выполняется внутри интервала:

$$-1 \leq x \leq 2$$

Ответ:

$$-1 \leq x \leq 2$$

3) Решение неравенства

$$\sqrt{6x — x^2} \leq \sqrt{5}$$

Шаг 1: Возводим в квадрат

$$6x — x^2 \leq 5$$

Шаг 2: Переносим всё в одну часть

$$x^2 — 6x + 5 \geq 0$$

Находим корни:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

$$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Шаг 3: Анализ знаков

$(x — 1)(x — 5) \geq 0$

вне корней:

$$x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 5$$

Шаг 4: ОДЗ

$$6x — x^2 \geq 0$$

$$x(x — 6) \leq 0$$

$$0 \leq x \leq 6$$

Шаг 5: Пересечение

Общие значения:

$$0 \leq x \leq 1, \quad 5 \leq x \leq 6$$

Ответ:

$$0 \leq x \leq 1, \quad 5 \leq x \leq 6$$

4) Решение неравенства

$$\sqrt{x^2 — x} > \sqrt{2}$$

Шаг 1: Возводим в квадрат

$$x^2 — x > 2$$

Шаг 2: Переносим всё в одну часть

$$x^2 — x — 2 > 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Шаг 3: Анализ знаков

$(x + 1)(x — 2) > 0$

выполняется вне корней:

$$x < -1, \quad x > 2$$

Шаг 4: ОДЗ

$$x^2 — x \geq 0$$

$$x(x — 1) \geq 0$$

Решение:

$x \leq 0$

или

$x \geq 1$

.

Шаг 5: Пересечение

$$x < -1, \quad x > 2$$

Ответ:

$$x < -1, \quad x > 2$$

5) Решение неравенства

$$\sqrt{x^2 + 2x} > -3 — x^2$$

Так как корень всегда неотрицателен, а

$-3 — x^2$

всегда отрицателен или ноль, неравенство всегда верно.

Шаг 1: ОДЗ

$$x^2 + 2x \geq 0$$

$$x(x + 2) \geq 0$$

Решение:

$$x \leq -2, \quad x \geq 0$$

Ответ:

$$x \leq -2, \quad x \geq 0$$

6) Решение неравенства

$$\sqrt{4x — x^2} > -2 — 3x^2$$

Правая часть всегда

$\leq -2$

, а левая

$\geq 0$

, неравенство всегда верно.

Шаг 1: ОДЗ

$$4x — x^2 \geq 0$$

$$x(x — 4) \leq 0$$

$$0 \leq x \leq 4$$

Ответ:

$$0 \leq x \leq 4$$