ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 168 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (x2-1) > 1;
2. корень (1-x2) < 1;
3. корень (25-x2) > 4;
4. корень (25-x2) < 4.

1)

$$\sqrt{x^2 — 1} > 1;$$

$$(\sqrt{x^2 — 1})^2 > 1^2;$$

$$x^2 — 1 > 1;$$

$$x^2 > 2;$$

$$x < -\sqrt{2} \quad \text{и} \quad x > \sqrt{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 1 \geq 0;$$

$$x^2 \geq 1;$$

$$x \leq -1 \quad \text{и} \quad x \geq 1;$$

Ответ:

$x < -\sqrt{2}; \, x > \sqrt{2}$

.

2)

$$\sqrt{1 — x^2} < 1;$$

$$(\sqrt{1 — x^2})^2 < 1^2;$$

$$1 — x^2 < 1;$$

$$-x^2 < 0;$$

$$x^2 > 0;$$

$$x \neq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — x^2 \geq 0;$$

$$x^2 — 1 \leq 0;$$

$$(x + 1)(x — 1) \leq 0;$$

$$-1 \leq x \leq 1;$$

Ответ:

$-1 \leq x < 0; \, 0 < x \leq 1$

.

3)

$$\sqrt{25 — x^2} > 4;$$

$$(\sqrt{25 — x^2})^2 > 4^2;$$

$$25 — x^2 > 16;$$

$$-x^2 > -9;$$

$$x^2 < 9;$$

$$-3 < x < 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$25 — x^2 \geq 0;$$

$$x^2 — 25 \leq 0;$$

$$(x + 5)(x — 5) \leq 0;$$

$$-5 \leq x \leq 5;$$

Ответ:

$-3 < x < 3$

.

4)

$$\sqrt{25 — x^2} < 4;$$

$$(\sqrt{25 — x^2})^2 < 4^2;$$

$$25 — x^2 < 16;$$

$$-x^2 < -9;$$

$$x^2 > 9;$$

$$x < -3 \quad \text{и} \quad x > 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$25 — x^2 \geq 0;$$

$$x^2 — 25 \leq 0;$$

$$(x + 5)(x — 5) \leq 0;$$

$$-5 \leq x \leq 5;$$

Ответ:

$-5 \leq x < -3; \, 3 < x \leq 5$

.

1)

Неравенство:

$$\sqrt{x^2 — 1} > 1$$

Шаг 1: Устранение квадратного корня

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны неравенства в квадрат:

$$(\sqrt{x^2 — 1})^2 > 1^2$$

$$x^2 — 1 > 1$$

Шаг 2: Упростим неравенство

Теперь просто решим полученное неравенство:

$$x^2 — 1 > 1$$

Прибавим 1 к обеим частям:

$$x^2 > 2$$

Шаг 3: Найдем решения

Это неравенство можно решить следующим образом. Мы знаем, что

$x^2 > 2$

эквивалентно тому, что

$x$

находится за пределами отрезка от

$-\sqrt{2}$

до

$\sqrt{2}$

, то есть:

$$x < -\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{2}$$

Шаг 4: Условие существования выражения

Чтобы корень

$\sqrt{x^2 — 1}$

имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2 — 1 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$x^2 \geq 1$$

Что означает:

$$x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1$$

Ответ для 1-й задачи:

$$x < -\sqrt{2}; \, x > \sqrt{2}$$

2)

Неравенство:

$$\sqrt{1 — x^2} < 1$$

Шаг 1: Устранение квадратного корня

Возводим обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{1 — x^2})^2 < 1^2$$

$$1 — x^2 < 1$$

Шаг 2: Упростим неравенство

Теперь решим полученное неравенство:

$$1 — x^2 < 1$$

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$-x^2 < 0$$

Умножаем обе части неравенства на

$-1$

(не забываем при этом изменить знак неравенства):

$$x^2 > 0$$

Шаг 3: Условие существования выражения

Корень

$\sqrt{1 — x^2}$

имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть:

$$1 — x^2 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$x^2 \leq 1$$

Или в факторизованном виде:

$$(x + 1)(x — 1) \leq 0$$

Это неравенство выполняется, когда:

$$-1 \leq x \leq 1$$

Ответ для 2-й задачи:

$$-1 \leq x < 0; \, 0 < x \leq 1$$

3)

Неравенство:

$$\sqrt{25 — x^2} > 4$$

Шаг 1: Устранение квадратного корня

Возводим обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{25 — x^2})^2 > 4^2$$

$$25 — x^2 > 16$$

Шаг 2: Упростим неравенство

Теперь решим:

$$25 — x^2 > 16$$

Вычитаем 16 из обеих частей:

$$9 — x^2 > 0$$

Перепишем неравенство как:

$$-x^2 > -9$$

Умножаем обе части на

$-1$

(и меняем знак неравенства):

$$x^2 < 9$$

Шаг 3: Найдем решения

Это неравенство означает, что

$x$

лежит в интервале от

$-3$

до

$3$

:

$$-3 < x < 3$$

Шаг 4: Условие существования выражения

Корень

$\sqrt{25 — x^2}$

имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть:

$$25 — x^2 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$x^2 \leq 25$$

Это неравенство выполняется для

$x$

из интервала:

$$-5 \leq x \leq 5$$

Ответ для 3-й задачи:

$$-3 < x < 3$$

4)

Неравенство:

$$\sqrt{25 — x^2} < 4$$

Шаг 1: Устранение квадратного корня

Возводим обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{25 — x^2})^2 < 4^2$$

$$25 — x^2 < 16$$

Шаг 2: Упростим неравенство

Теперь решим:

$$25 — x^2 < 16$$

Вычитаем 16 из обеих частей:

$$9 — x^2 < 0$$

Перепишем неравенство как:

$$-x^2 < -9$$

Умножаем обе части на

$-1$

(и меняем знак неравенства):

$$x^2 > 9$$

Шаг 3: Найдем решения

Это неравенство означает, что

$x$

должно быть меньше

$-3$

или больше

$3$

:

$$x < -3 \quad \text{или} \quad x > 3$$

Шаг 4: Условие существования выражения

Корень

$\sqrt{25 — x^2}$

имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть:

$$25 — x^2 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$x^2 \leq 25$$

Это неравенство выполняется для

$x$

из интервала:

$$-5 \leq x \leq 5$$

Ответ для 4-й задачи:

$$-5 \leq x < -3; \, 3 < x \leq 5$$

Итоговые ответы:

1. 
   $x < -\sqrt{2}; \, x > \sqrt{2}$ 

   .

2. 
   $-1 \leq x < 0; \, 0 < x \leq 1$ 

   .

3. 
   $-3 < x < 3$ 

   .

4. 
   $-5 \leq x < -3; \, 3 < x \leq 5$ 

   .