ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1624 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$$y=\frac{2{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x}{2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x}$$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

$$y=\frac{2{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x}{2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x}\mathrm{.}$$

Преобразование числителя дроби:

$$2{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x=2{\cos }^{4}x+1-{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x\cdot (2{\cos }^{2}x-1)+1=$$$$={\cos }^{2}x\cdot (2{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)+1={\cos }^{2}x\cdot ({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)+1=$$$$={\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+1.$$

Преобразование знаменателя дроби:

$$2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x=2{\sin }^{4}x+3-3{\sin }^{2}x={\sin }^{2}x\cdot (2{\sin }^{2}x-3)+3=$$$$={\sin }^{2}x\cdot (2{\sin }^{2}x-3{\sin }^{2}x-3{\cos }^{2}x)+3=$$$$={\sin }^{2}x\cdot (-{\sin }^{2}x-3{\cos }^{2}x)+3={\sin }^{2}x\cdot (-1+{\cos }^{2}x-3{\cos }^{2}x)+3=$$$$={\sin }^{2}x\cdot (-1-2{\cos }^{2}x)+3=-{\sin }^{2}x-2{\cos }^{2}x\cdot {\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2=$$$$={\cos }^{2}x\cdot (1-2{\sin }^{2}x)+2={\cos }^{2}x\cdot ({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2{\sin }^{2}x)+2=$$$$={\cos }^{2}x\cdot ({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)+2={\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2.$$

Получим функцию:

$$y=\frac{{\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+1}{{\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2}\mathrm{.}$$

Пусть $u={\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+1$, тогда:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=({\cos }^{2}x{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot \cos 2x+{\cos }^{2}x\cdot (\cos 2x{)}^{\mathrm{\prime }}+(1{)}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\sin x\cdot \cos x\cdot \cos 2x+{\cos }^{2}x\cdot (-2\sin 2x)+0.$$$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cos x\cdot (\sin x\cdot \cos 2x+\sin 2x\cdot \cos x)\mathrm{.}$$$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cos x\cdot \sin (x+2x)=-2\cos x\cdot \sin 3x\mathrm{.}$$

Пусть $z={\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2$, тогда:

$$z^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cos x\cdot \sin 3x\mathrm{.}$$

Производная функции:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{u^{\mathrm{\prime }}\cdot z-u\cdot z^{\mathrm{\prime }}}{z^2}\mathrm{.}$$$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2\cos x\cdot \sin 3x\cdot (({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2)-({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+1))}{({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2{)}^2}\mathrm{.}$$$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2\cos x\cdot \sin 3x\cdot 1}{({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2{)}^2}\mathrm{.}$$

Точки экстремума функции:

$$-2\cos x\cdot \sin 3x\cdot 1=0.$$$$\cos x\cdot \sin 3x=0.$$

Первое уравнение:

$$\cos x=0;$$$$x=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n\mathrm{.}$$

Второе уравнение:

$$\sin 3x=0;$$$$3x=\arcsin 0+\pi n=\pi n;$$$$x=\frac{\pi n}{3}\mathrm{.}$$

Значения функции (очевидно, что период равен $\pi$):

$$y\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{2}\cdot \cos \pi +1}{{\cos }^2\frac{\pi }{2}\cdot \cos \pi +2}=\frac{0^2\cdot (-1)+1}{0^2\cdot (-1)+2}=\frac{1}{2};$$$$y(0)=\frac{{\cos }^{2}0\cdot \cos 0+1}{{\cos }^{2}0\cdot \cos 0+2}=\frac{1^2\cdot 1+1}{1^2\cdot 1+2}=\frac{1+1}{1+2}=\frac{2}{3};$$$$y\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{2\pi }{3}+1}{{\cos }^2\frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{2\pi }{3}+2}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot (-\frac{1}{2})+1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot (-\frac{1}{2})+2}=$$

$$=\frac{\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})+1}{\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})+2}=\frac{-\frac{1}{8}+1}{-\frac{1}{8}+2}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{15}{8}}=\frac{7}{15};$$$$y\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{{\cos }^2\frac{2\pi }{3}\cdot \cos \frac{4\pi }{3}+1}{{\cos }^2\frac{2\pi }{3}\cdot \cos \frac{4\pi }{3}+2}=\frac{{(-\frac{1}{2})}^2\cdot (-\frac{1}{2})+1}{{(-\frac{1}{2})}^2\cdot (-\frac{1}{2})+2}=$$

$$=\frac{\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})+1}{\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})+2}=\frac{-\frac{1}{8}+1}{-\frac{1}{8}+2}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{15}{8}}=\frac{7}{15}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{2}{3},\frac{7}{15}}}$$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

$$y=\frac{2{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x}{2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x}\mathrm{.}$$

Шаг 1: Преобразование числителя

Числитель выражен как:

$$2{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x\mathrm{.}$$

Для упрощения преобразуем $2{\cos }^{4}x$ следующим образом:

$$2{\cos }^{4}x=2\cdot {\cos }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x\mathrm{.}$$

Теперь выразим числитель как:

$$2{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x=2\cdot {\cos }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\mathrm{.}$$

Используем тригонометрическую тождественность ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, чтобы выразить ${\cos }^{2}x$ через ${\sin }^{2}x$:

$$2{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x\cdot (2{\cos }^{2}x-1)+1.$$

Таким образом, числитель преобразуется в:

$$2{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+1.$$

Шаг 2: Преобразование знаменателя

Знаменатель выражен как:

$$2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x\mathrm{.}$$

Для преобразования $2{\sin }^{4}x$ применим разложение:

$$2{\sin }^{4}x=2\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\sin }^{2}x\mathrm{.}$$

Теперь перепишем знаменатель:

$$2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x=2\cdot {\sin }^{2}x\cdot {\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x\mathrm{.}$$

Используем ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, чтобы выразить ${\cos }^{2}x$ через ${\sin }^{2}x$:

$$2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x\cdot (2{\sin }^{2}x-3)+3.$$

Дальше продолжаем преобразование:

$$2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x\cdot (-{\sin }^{2}x-3{\cos }^{2}x)+3.$$

Используем ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, чтобы заменить ${\cos }^{2}x$:

$$2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x\cdot (-1+{\cos }^{2}x-3{\cos }^{2}x)+3.$$

Это упростится до:

$$2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x\cdot (1-2{\sin }^{2}x)+2.$$

Таким образом, знаменатель преобразуется в:

$$2{\sin }^{4}x+3{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2.$$

Шаг 3: Формула функции

Теперь, подставив преобразованные числитель и знаменатель, получаем функцию:

$$y=\frac{{\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+1}{{\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Обозначение переменных

Обозначим числитель и знаменатель для удобства:

• Пусть $u={\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+1$.
• Пусть $z={\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2$.

Теперь производные этих выражений будут полезны для нахождения экстремумов функции.

Шаг 5: Производные числителя и знаменателя

Для числителя $u$, вычислим производную по $x$:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+1)\mathrm{.}$$

Используем правило произведения для первого члена:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=\left(\frac{d}{dx}{\cos }^{2}x\right)\cdot \cos 2x+{\cos }^{2}x\cdot \frac{d}{dx}\cos 2x\mathrm{.}$$

Производная ${\cos }^{2}x$ по $x$ равна $-2\sin x\cdot \cos x$, а производная $\cos 2x$ по $x$ равна $-2\sin 2x$. Подставляем эти значения:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\sin x\cdot \cos x\cdot \cos 2x+{\cos }^{2}x\cdot (-2\sin 2x)\mathrm{.}$$

Упростим:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cos x\cdot (\sin x\cdot \cos 2x+\sin 2x\cdot \cos x)\mathrm{.}$$

Используя тригонометрическое тождество для суммы углов:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cos x\cdot \sin 3x\mathrm{.}$$

Теперь для знаменателя $z$, вычислим производную:

$$z^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2)\mathrm{.}$$

Аналогично числителю:

$$z^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cos x\cdot \sin 3x\mathrm{.}$$

Шаг 6: Производная функции

Теперь найдем производную функции $y$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{u^{\mathrm{\prime }}\cdot z-u\cdot z^{\mathrm{\prime }}}{z^2}\mathrm{.}$$

Подставим $u^{\mathrm{\prime }}$ и $z^{\mathrm{\prime }}$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2\cos x\cdot \sin 3x\cdot ({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2-({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+1))}{{({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2)}^2}\mathrm{.}$$

Упростим:

$$y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2\cos x\cdot \sin 3x\cdot 1}{{({\cos }^{2}x\cdot \cos 2x+2)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 7: Условия экстремума функции

Для нахождения экстремумов приравняем производную к нулю:

$$-2\cos x\cdot \sin 3x=0.$$

Это дает два уравнения:

1. $\cos x=0$, откуда $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$.
2. $\sin 3x=0$, откуда $3x=\pi n$, и $x=\frac{\pi n}{3}$.

Шаг 8: Значения функции в точках экстремума

Теперь вычислим значения функции в точках $x=\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$, так как период функции равен $\pi$.

1. $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{2}\cdot \cos \pi +1}{{\cos }^2\frac{\pi }{2}\cdot \cos \pi +2}=\frac{0^2\cdot (-1)+1}{0^2\cdot (-1)+2}=\frac{1}{2}$.
2. $y(0)=\frac{{\cos }^{2}0\cdot \cos 0+1}{{\cos }^{2}0\cdot \cos 0+2}=\frac{1^2\cdot 1+1}{1^2\cdot 1+2}=\frac{1+1}{1+2}=\frac{2}{3}$.
3. $y\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{{\cos }^2\frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{2\pi }{3}+1}{{\cos }^2\frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{2\pi }{3}+2}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot (-\frac{1}{2})+1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot (-\frac{1}{2})+2}=\frac{\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})+1}{\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})+2}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{15}{8}}=\frac{7}{15}$.
4. $y\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{{\cos }^2\frac{2\pi }{3}\cdot \cos \frac{4\pi }{3}+1}{{\cos }^2\frac{2\pi }{3}\cdot \cos \frac{4\pi }{3}+2}=\frac{{(-\frac{1}{2})}^2\cdot (-\frac{1}{2})+1}{{(-\frac{1}{2})}^2\cdot (-\frac{1}{2})+2}=\frac{\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})+1}{\frac{1}{4}\cdot (-\frac{1}{2})+2}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{15}{8}}=\frac{7}{15}$.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{2}{3},\frac{7}{15}}}\mathrm{.}$$