ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1623 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения параметра а, при которых вершины двух парабол у = 4×2 + 8ах — 9 и у = 4ах2 — 8х + а — 2 лежат по одну сторону от прямой у = -5.

Даны функции:

$$f(x) = 4x^2 + 8ax — 9$$

и

$$g(x) = 4ax^2 — 8x + a — 2;$$

Координаты вершины первой параболы:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8a}{2 \cdot 4} = -\frac{8a}{8} = -a;$$ $$y = f(-a) = 4 \cdot a^2 + 8a \cdot (-a) — 9 = 4a^2 — 8a^2 — 9 = -4a^2 — 9;$$

Координаты вершины второй параболы:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 4a} = \frac{8}{8a} = \frac{1}{a};$$ $$y = g\left(\frac{1}{a}\right) = 4a \cdot \frac{1}{a^2} — 8 \cdot \frac{1}{a} + a — 2 = \frac{4}{a} — \frac{8}{a} + a — 2 = a — \frac{4}{a} — 2;$$

Вершина первой параболы всегда лежит ниже прямой $y = -5$:

$$-4a^2 — 9 < -5;$$ $$-4a^2 < 4;$$ $$a^2 > -1 \quad \text{(при любом значении } x);$$

Вершина второй параболы лежит ниже прямой $y = -5$, при:

$$a — \frac{4}{a} — 2 < -5;$$ $$a + 3 — \frac{4}{a} < 0 \quad | \cdot a^2;$$ $$a^3 + 3a^2 — 4a < 0;$$ $$a(a^2 + 3a — 4) < 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25;$$

тогда:

$$a_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1;$$ $$(a + 4) \cdot a \cdot (a — 1) < 0;$$ $$a < -4 \quad \text{и} \quad 0 < a < 1;$$

Ответ: $a < -4; \, 0 < a < 1.$

Дано:

1. Функция $f(x) = 4x^2 + 8ax — 9$.
2. Функция $g(x) = 4ax^2 — 8x + a — 2$.

Нужно найти значения параметра $a$, при которых вершина первой параболы всегда лежит ниже прямой $y = -5$, а вершина второй параболы лежит ниже этой прямой.

Шаг 1: Координаты вершины первой параболы

Для функции $f(x) = 4x^2 + 8ax — 9$ вычислим координаты вершины.

Вершина параболы для функции $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ находится в точке:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{B}{2A}$$

Для функции $f(x) = 4x^2 + 8ax — 9$, $A = 4$ и $B = 8a$. Подставим эти значения в формулу для абсциссы вершины:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{8a}{2 \cdot 4} = -\frac{8a}{8} = -a$$

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_{\text{верш}} = -a$ в исходное уравнение $f(x)$:

$$y_{\text{верш}} = f(-a) = 4(-a)^2 + 8a(-a) — 9 = 4a^2 — 8a^2 — 9 = -4a^2 — 9$$

Таким образом, координаты вершины первой параболы:

$$x_{\text{верш}} = -a, \quad y_{\text{верш}} = -4a^2 — 9$$

Шаг 2: Координаты вершины второй параболы

Теперь вычислим координаты вершины второй параболы для функции $g(x) = 4ax^2 — 8x + a — 2$.

Для функции $g(x) = Ax^2 + Bx + C$, где $A = 4a$, $B = -8$ и $C = a — 2$, вершина находится в точке:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{B}{2A}$$

Подставляем значения $A = 4a$ и $B = -8$:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{-8}{2 \cdot 4a} = \frac{8}{8a} = \frac{1}{a}$$

Теперь находим ординату вершины, подставив $x_{\text{верш}} = \frac{1}{a}$ в уравнение $g(x)$:

$$y_{\text{верш}} = g\left(\frac{1}{a}\right) = 4a \cdot \left(\frac{1}{a}\right)^2 — 8 \cdot \frac{1}{a} + a — 2$$

Упрощаем выражение:

$$y_{\text{верш}} = \frac{4}{a} — \frac{8}{a} + a — 2 = a — \frac{4}{a} — 2$$

Таким образом, координаты вершины второй параболы:

$$x_{\text{верш}} = \frac{1}{a}, \quad y_{\text{верш}} = a — \frac{4}{a} — 2$$

Шаг 3: Условие, что вершина первой параболы всегда лежит ниже прямой $y = -5$

Для того чтобы вершина первой параболы всегда была ниже прямой $y = -5$, необходимо, чтобы ордината вершины $y_{\text{верш}} = -4a^2 — 9$ всегда была меньше $-5$.

Решаем неравенство:

$$-4a^2 — 9 < -5$$

Прибавим 9 к обеим частям:

$$-4a^2 < 4$$

Теперь разделим на $-4$ (и не забудем изменить знак неравенства):

$$a^2 > -1$$

Так как $a^2 \geq 0$ для всех $a$, это неравенство всегда выполняется. То есть вершина первой параболы всегда лежит ниже прямой $y = -5$ для любого значения $a$.

Шаг 4: Условие, что вершина второй параболы лежит ниже прямой $y = -5$

Теперь найдем такие значения $a$, при которых вершина второй параболы лежит ниже прямой $y = -5$. Для этого нужно, чтобы ордината вершины второй параболы $y_{\text{верш}} = a — \frac{4}{a} — 2$ была меньше $-5$.

Решаем неравенство:

$$a — \frac{4}{a} — 2 < -5$$

Прибавим 2 к обеим частям:

$$a — \frac{4}{a} < -3$$

Теперь перенесем все на одну сторону:

$$a + 3 — \frac{4}{a} < 0$$

Умножим обе части на $a^2$, чтобы избавиться от дроби (при $a \neq 0$):

$$a^3 + 3a^2 — 4a < 0$$

Вынесем $a$ за скобки:

$$a(a^2 + 3a — 4) < 0$$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $a^2 + 3a — 4 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни уравнения:

$$a_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad a_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

Таким образом, неравенство $a(a^2 + 3a — 4) < 0$ распадается на три множителя:

$$(a + 4) \cdot a \cdot (a — 1) < 0$$

Теперь решим это неравенство. Для этого находим интервалы, на которых произведение этих множителей отрицательно:

1. $a < -4$
2. $0 < a < 1$

Ответ:

Таким образом, значения $a$, при которых вершина второй параболы лежит ниже прямой $y = -5$, определяются интервалами:

$$a < -4 \quad \text{или} \quad 0 < a < 1$$

Ответ: $a < -4; \, 0 < a < 1$.