ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1622 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции у = 4х2 — 4ах + а2 — 2а + 2 на отрезке [0; 2] равно 3.

Дана функция, наименьшее значение которой на отрезке $[0; 2]$ равно 3:

$$y = 4x^2 — 4ax + a^2 — 2a + 2;$$

Производная функции:

$$y'(x) = 4(x^2)’ — 4a(x)’ + (a^2 — 2a + 2)’;$$ $$y'(x) = 4 \cdot 2x — 4a + 0 = 8x — 4a;$$

Промежуток возрастания:

$$8x — 4a > 0;$$ $$2x — a > 0;$$ $$2x > a, \text{отсюда } x > \frac{a}{2};$$

Значения $a$, если вершина лежит на отрезке $[0; 2]$:

$$0 \leq \frac{a}{2} \leq 2;$$ $$0 \leq a \leq 4;$$

Если вершина лежит на отрезке $[0; 2]$:

$$3 = 4 \cdot \frac{a^2}{4} — 4a \cdot \frac{a}{2} + a^2 — 2a + 2;$$ $$a^2 — 2a^2 + a^2 — 2a + 2 — 3 = 0;$$ $$-2a — 1 = 0;$$ $$2a = -1, \text{отсюда } a = -\frac{1}{2};$$

Если вершина лежит правее отрезка $[0; 2]$:

$$x = 2 \text{ и } a \geq 4;$$ $$3 = 4 \cdot 2^2 — 4a \cdot 2 + a^2 — 2a + 2;$$ $$16 — 8a + a^2 — 2a + 2 — 3 = 0;$$ $$a^2 — 10a + 15 = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 15 = 100 — 60 = 40 = 4 \cdot 10, \text{тогда:}$$ $$a = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 5 \pm \sqrt{10};$$

Если вершина лежит левее отрезка $[0; 2]$:

$$x = 0 \text{ и } a \leq 0;$$ $$3 = 4 \cdot 0^2 + 8a \cdot 0 + a^2 — 2a + 2;$$ $$a^2 — 2a + 2 — 3 = 0;$$ $$a^2 — 2a — 1 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8 = 4 \cdot 2, \text{тогда:}$$ $$a = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2};$$

Ответ: $a_1 = 1 — \sqrt{2}; \, a_2 = 5 + \sqrt{10}$.

Функция:

$$y = 4x^2 — 4ax + a^2 — 2a + 2$$

Нам нужно найти значения параметра $a$, для которых наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ равно 3.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для того чтобы найти стационарные точки, вычислим производную функции $y$. Для этого применим стандартные правила дифференцирования.

1. Производная $4x^2$:

   $$\frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$$

2. Производная $-4ax$:
   Это линейная функция относительно $x$, где $-4a$ — постоянная, и ее производная:

   $$\frac{d}{dx}(-4ax) = -4a$$

3. Производная $a^2 — 2a + 2$:
   Это выражение, не зависимое от $x$, так как оно состоит из только констант. Его производная равна нулю:

   $$\frac{d}{dx}(a^2 — 2a + 2) = 0$$

Теперь соберем все части и найдем производную функции:

$$y'(x) = 8x — 4a$$

Шаг 2: Найдем промежуток возрастания функции

Чтобы определить, на каком промежутке функция возрастает или убывает, решим неравенство $y'(x) > 0$. Это даст нам промежуток, где функция возрастает.

Решаем:

$$8x — 4a > 0$$

Преобразуем неравенство:

$$8x > 4a$$ $$x > \frac{a}{2}$$

Таким образом, функция возрастает на промежутке $x > \frac{a}{2}$. Этот результат указывает, что если вершина параболы лежит на отрезке $[0; 2]$, то $\frac{a}{2}$ должно быть в пределах отрезка.

Шаг 3: Значения $a$, если вершина лежит на отрезке $[0; 2]$

Вершина параболы для функции вида $y = Ax^2 + Bx + C$ лежит в точке $x = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае $A = 4$, а $B = -4a$, поэтому абсцисса вершины $x_{\text{верш}}$ вычисляется по формуле:

$$x_{\text{верш}} = \frac{-(-4a)}{2 \cdot 4} = \frac{a}{2}$$

Поскольку вершина должна лежать на отрезке $[0; 2]$, то $x_{\text{верш}} = \frac{a}{2}$ должно удовлетворять неравенству:

$$0 \leq \frac{a}{2} \leq 2$$

Умножим все части неравенства на 2:

$$0 \leq a \leq 4$$

Таким образом, $a$ должно быть в пределах от 0 до 4, чтобы вершина функции лежала на отрезке $[0; 2]$.

Шаг 4: Найдем значение функции в вершине

Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$, подставим $x_{\text{верш}} = \frac{a}{2}$ в исходную функцию и приравняем результат к 3 (наименьшее значение функции).

Подставим $x = \frac{a}{2}$ в $y = 4x^2 — 4ax + a^2 — 2a + 2$:

$$y\left( \frac{a}{2} \right) = 4 \cdot \left( \frac{a}{2} \right)^2 — 4a \cdot \frac{a}{2} + a^2 — 2a + 2$$

Решаем пошагово:

1. $4 \cdot \left( \frac{a}{2} \right)^2 = 4 \cdot \frac{a^2}{4} = a^2$
2. $-4a \cdot \frac{a}{2} = -2a^2$
3. $a^2 — 2a + 2$ остается как есть.

Таким образом, функция в вершине будет равна:

$$y\left( \frac{a}{2} \right) = a^2 — 2a^2 + a^2 — 2a + 2$$

Упрощаем выражение:

$$y\left( \frac{a}{2} \right) = -2a — 1$$

Теперь приравниваем это к 3 (по условию задачи):

$$-2a — 1 = 3$$

Решаем уравнение:

$$-2a = 4$$ $$a = -2$$

Шаг 5: Рассмотрим другие случаи

Если вершина лежит правее отрезка $[0; 2]$:

Если вершина параболы лежит правее отрезка $[0; 2]$, то $x = 2$. Подставляем $x = 2$ в исходную функцию:

$$3 = 4 \cdot 2^2 — 4a \cdot 2 + a^2 — 2a + 2$$

Упрощаем:

$$3 = 16 — 8a + a^2 — 2a + 2$$ $$3 = a^2 — 10a + 18$$

Теперь решим квадратное уравнение:

$$a^2 — 10a + 15 = 0$$

Для этого находим дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 100 — 60 = 40$$

Корни уравнения:

$$a = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 5 \pm \sqrt{10}$$

Если вершина лежит левее отрезка $[0; 2]$:

Если вершина параболы лежит левее отрезка, то $x = 0$. Подставляем $x = 0$ в функцию:

$$3 = 4 \cdot 0^2 — 4a \cdot 0 + a^2 — 2a + 2$$

Получаем:

$$3 = a^2 — 2a + 2$$

Решаем:

$$a^2 — 2a — 1 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$

Корни уравнения:

$$a = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

Ответ:

Таким образом, возможные значения $a$ для которых наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ равно 3:

$$a_1 = 1 — \sqrt{2}, \quad a_2 = 5 + \sqrt{10}$$