ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1619 Алимов — Подробные Ответы

Парабола у = х2 + рх + q пересекает прямую у = 2х — 3 в точке с абсциссой 1. При каких значениях р и q расстояние от вершины параболы до оси Ох является наименьшим? Найти это расстояние.

Дана функция $f(x) = x^2 + px + q$ и прямая $y = 2x — 3$;

Графики функций пересекаются в точке с абсциссой 1, значит:

$$1^2 + p \cdot 1 + q = 2 \cdot 1 — 3;$$ $$1 + p + q = 2 — 3;$$ $$1 + p + q = -1;$$ $$p + q = -2;$$ $$q = -2 — p;$$

Координаты вершины параболы:

$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{p}{2};$$ $$y \equiv f\left( \frac{p}{2} \right) = \frac{p^2}{4} — \frac{p^2}{2} + q = \frac{p^2 — 2p^2 + 4q}{4} = \frac{4q — p^2}{4};$$

Расстояние от вершины параболы до оси $Ox$:

$$d(p) = \left| \frac{4q — p^2}{4} \right| = \left| \frac{4(-2 — p) — p^2}{4} \right| = \left| -\frac{8 + 4p + p^2}{4} \right| = \frac{p^2 + 4p + 8}{4};$$

Производная функции:

$$d'(p) = \frac{1}{4} \cdot (p^2)’ + (4p + 8)’ = \frac{1}{4} \cdot (2p + 4) = \frac{1}{2} \cdot (p + 2);$$

Промежуток возрастания:

$$p + 2 > 0, \text{отсюда } p > -2;$$

Искомые значения:

$$p = -2 \text{ — точка минимума; }$$ $$q = -2 — (-2) = -2 + 2 = 0;$$ $$d(-2) = \frac{4 + 4 \cdot (-2) + 8}{4} = \frac{4 — 8 + 8}{4} = \frac{4}{4} = 1;$$

Ответ: $p = -2; \ q = 0; \ d = 1.$

Дано:

• Функция $f(x) = x^2 + px + q$, где $p$ и $q$ — это неизвестные параметры.
• Прямая $y = 2x — 3$.

Графики функции и прямой пересекаются в точке с абсциссой $x = 1$.

Шаг 1: Подставляем $x = 1$ в обе функции для нахождения связи между $p$ и $q$.

У нас есть точка пересечения, где $x = 1$. Подставим эту точку в обе функции:

Подставим $x = 1$ в уравнение параболы $f(x) = x^2 + px + q$:

$$f(1) = 1^2 + p \cdot 1 + q = 1 + p + q$$

Подставим $x = 1$ в уравнение прямой $y = 2x — 3$:

$$y = 2 \cdot 1 — 3 = 2 — 3 = -1$$

Так как точка пересечения соответствует одной и той же абсциссе, при $x = 1$, то значения обеих функций должны совпасть. Поэтому:

$$1 + p + q = -1$$

Решаем для $p$ и $q$:

$$p + q = -2 \quad \text{(1)}$$

Из этого уравнения можно выразить $q$ через $p$:

$$q = -2 — p \quad \text{(2)}$$

Шаг 2: Находим координаты вершины параболы.

Вершина параболы $f(x) = x^2 + px + q$ находится по формуле для абсциссы вершины параболы:

$$x_{\text{верш}} = -\frac{p}{2}$$

Теперь подставим это значение в уравнение $f(x)$, чтобы найти ординату вершины. Подставим $x = -\frac{p}{2}$ в выражение для функции $f(x)$:

$$y = f\left(-\frac{p}{2}\right) = \left(-\frac{p}{2}\right)^2 + p \cdot \left(-\frac{p}{2}\right) + q$$

Упростим это:

$$y = \frac{p^2}{4} — \frac{p^2}{2} + q = \frac{p^2}{4} — \frac{2p^2}{4} + q = \frac{-p^2}{4} + q$$

Теперь подставим выражение для $q$ из уравнения (2):

$$y = \frac{-p^2}{4} + (-2 — p)$$ $$y = \frac{-p^2}{4} — 2 — p$$

Теперь у нас есть координаты вершины: $x = -\frac{p}{2}$ и $y = \frac{-p^2}{4} — 2 — p$.

Шаг 3: Находим расстояние от вершины до оси $OX$.

Расстояние от точки до оси $OX$ — это просто абсцисса точки вершины $y$, то есть по сути значение $|y_{\text{верш}}|$. Найдем это расстояние:

$$d(p) = \left| \frac{-p^2}{4} — 2 — p \right|$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$d(p) = \left| \frac{-p^2 — 8 — 4p}{4} \right| = \frac{|p^2 + 4p + 8|}{4}$$

Шаг 4: Находим производную для анализа минимума.

Теперь найдем производную функции расстояния $d(p)$ для того, чтобы определить, на каком значении $p$ расстояние минимально:

$$d(p) = \frac{p^2 + 4p + 8}{4}$$

Производная этой функции по $p$:

$$d'(p) = \frac{1}{4} \cdot (2p + 4) = \frac{2p + 4}{4} = \frac{p + 2}{2}$$

Чтобы найти точку минимума, приравняем производную к нулю:

$$\frac{p + 2}{2} = 0$$

Решаем:

$$p + 2 = 0$$ $$p = -2$$

Шаг 5: Находим значение $q$ и минимальное расстояние.

Теперь, зная, что $p = -2$, подставим это значение в уравнение для $q$ (из уравнения (2)):

$$q = -2 — (-2) = -2 + 2 = 0$$

Найдем минимальное расстояние, подставив $p = -2$ в выражение для $d(p)$:

$$d(-2) = \frac{(-2)^2 + 4(-2) + 8}{4} = \frac{4 — 8 + 8}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Ответ:

• $p = -2$
• $q = 0$
• Минимальное расстояние от вершины параболы до оси $OX$ равно $d = 1$.

Таким образом, решение задачи — это:

$$\boxed{p = -2, \, q = 0, \, d = 1}$$