ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1618 Алимов — Подробные Ответы

Задача

При каком значении к площадь фигуры, заключённой между параболой у = х2 + 2х — 3 и прямой у = kx + 1, наименьшая?

Краткий ответ:

Дана функция $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ и прямая $y = k x + 1$ .

Точки пересечения функций:

$x^{2} + 2 x - 3 = k x + 1;$ $x^{2} + (2 - k) x - 4 = 0;$ $D = (2 - k)^{2} + 4 \cdot 4 = 4 - 4 k + k^{2} + 16 = k^{2} - 4 k + 20,$

тогда:

$x = \frac{k - 2 \pm \sqrt{k^{2} - 4 k + 20}}{2} .$

Площадь фигуры, заключенной между функциями:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (k x + 1 - x^{2} - 2 x + 3) d x = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (k x + 4 - x^{2} - 2 x) d x =$ $= (k \cdot \frac{x^{2}}{2} + 4 \cdot \frac{x^{1}}{1} - \frac{x^{3}}{3} - 2 \cdot \frac{x^{2}}{2}) ∣_{x_{1}}^{x_{2}} = (\frac{x^{2} (k - 2)}{2} + 4 x - \frac{x^{3}}{3}) ∣_{x_{1}}^{x_{2}} =$ $= \frac{(x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) (k - 2)}{2} + 4 (x_{2} - x_{1}) - \frac{(x_{2}^{3} - x_{1}^{3})}{3} .$

Значение разности:

$x_{2} - x_{1} = \frac{k - 2 + \sqrt{D}}{2} - \frac{k - 2 - \sqrt{D}}{2} = \frac{2 \sqrt{D}}{2} = \sqrt{D};$

Значение разности:

$x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = \frac{1}{4} ((k - 2)^{2} + 2 (k - 2) \sqrt{D} + D - (k - 2)^{2} + 2 (k - 2) \sqrt{D} - D) =$ $= \frac{1}{4} \cdot 4 (k - 2) \sqrt{D} = (k - 2) \sqrt{D};$

Значение разности:

$x_{2}^{3} - x_{1}^{3} = (x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + x_{2} x_{1} + x_{1}^{2}) = \sqrt{D} \cdot \frac{1}{4} ((k - 2)^{2} + 2 (k - 2) \sqrt{D} + D +$

$+ (k - 2)^{2} - 2 (k - 2) \sqrt{D} + D) =$ $= \frac{1}{4} \sqrt{D} (D + 3 (k - 2)^{2}) .$

Подставим известные значения:

$S = \frac{(k - 2) \sqrt{D} \cdot (k - 2)}{2} + 4 \sqrt{D} - \frac{\frac{1}{4} \sqrt{D} (D + 3 (k - 2)^{2})}{3} =$ $= \frac{3 (k - 2)^{2} \cdot \sqrt{D} + 24 \sqrt{D} - \frac{1}{2} \sqrt{D} (D + 3 (k - 2)^{2})}{6} =$ $= \sqrt{D} \cdot \frac{3 (k - 2)^{2} + 24 - \frac{1}{2} D - \frac{3}{2} (k - 2)^{2}}{6} =$ $= \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} - 6 k + 6 + 24 - \frac{D}{2}) = \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} - 6 k + 30 - \frac{D}{2}) =$ $= \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} - 6 k + 30 - \frac{k^{2} - 4 k + 20}{2}) =$ $= \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} - 6 k + 30 - \frac{1}{2} k^{2} + 2 k - 10) =$ $= \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} + 20 - 4 k) = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{k^{2} - 4 k + 20} \cdot (k^{2} + 20 - 4 k) =$ $= \frac{1}{6} \cdot \sqrt{(k^{2} + 20 - 4 k)^{3}} .$

Производная функции:

$S^{'} (x) = \frac{1}{6} \cdot (k^{2} + 20 - 4 k)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} \cdot (2 k - 4) \cdot (k^{2} + 20 - 4 k)^{\frac{1}{2}} =$ $= \frac{1}{4} \cdot 2 (k - 2) \cdot \sqrt{k^{2} + 20 - 4 k} .$

Промежуток возрастания:

$k - 2 > 0, отсюда k > 2.$

Искомые значения:

$k = 2 — точка минимума.$

Ответ:

$2$

Подробный ответ:

Нам нужно найти:

Точки пересечения функций $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ и $y = k x + 1$ .
Площадь фигуры, заключенной между графиками этих функций.
Производную площади.
Условия возрастания этой площади.

Шаг 1: Нахождение точек пересечения функций

Для нахождения точек пересечения этих двух функций приравняем их:

$f (x) = k x + 1,$ $x^{2} + 2 x - 3 = k x + 1.$

Переносим все в одну сторону:

$x^{2} + 2 x - 3 - k x - 1 = 0,$ $x^{2} + (2 - k) x - 4 = 0.$

Теперь это квадратное уравнение. Для нахождения корней применим дискриминант. Напишем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$D = (2 - k)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) .$ $D = (2 - k)^{2} + 16.$

Раскроем квадрат:

$D = 4 - 4 k + k^{2} + 16 = k^{2} - 4 k + 20.$

Таким образом, дискриминант уравнения пересечения:

$D = k^{2} - 4 k + 20.$

Теперь, зная дискриминант, находим корни уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} .$

В нашем случае $a = 1$ , $b = 2 - k$ , и $D = k^{2} - 4 k + 20$ . Подставляем значения:

$x = \frac{- (2 - k) \pm \sqrt{k^{2} - 4 k + 20}}{2} .$

Таким образом, точки пересечения $x_{1}$ и $x_{2}$ находятся по формуле:

$x = \frac{k - 2 \pm \sqrt{k^{2} - 4 k + 20}}{2} .$

Шаг 2: Нахождение площади фигуры, заключенной между графиками

Площадь, заключенная между графиками, находится с использованием интеграла. Мы интегрируем разницу между функциями на интервале $[x_{1}, x_{2}]$ :

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} ((k x + 1) - (x^{2} + 2 x - 3)) d x .$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (k x + 1 - x^{2} - 2 x + 3) d x .$

Это выражение можно упростить до:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} (k x + 4 - x^{2} - 2 x) d x,$ $S = \int_{x_{1}}^{x_{2}} ((k - 2) x + 4 - x^{2}) d x .$

Теперь интегрируем каждое из этих выражений по отдельности:

$S = (k \cdot \frac{x^{2}}{2} + 4 \cdot \frac{x}{1} - \frac{x^{3}}{3} - 2 \cdot \frac{x^{2}}{2}) ∣_{x_{1}}^{x_{2}} .$

После упрощения получаем:

$S = (\frac{x^{2} (k - 2)}{2} + 4 x - \frac{x^{3}}{3}) ∣_{x_{1}}^{x_{2}} .$

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

$S = \frac{(x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) (k - 2)}{2} + 4 (x_{2} - x_{1}) - \frac{(x_{2}^{3} - x_{1}^{3})}{3} .$

Шаг 3: Выражения для разностей $x_{2} - x_{1}$ , $x_{2}^{2} - x_{1}^{2}$ , $x_{2}^{3} - x_{1}^{3}$

Для дальнейшего упрощения используем выражения для разностей:

Разность $x_{2} - x_{1}$ :

$x_{2} - x_{1} = \frac{k - 2 + \sqrt{D}}{2} - \frac{k - 2 - \sqrt{D}}{2} = \sqrt{D} .$

Разность квадратов $x_{2}^{2} - x_{1}^{2}$ :

Используя разность квадратов, получаем:

$x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = \frac{1}{4} ((k - 2)^{2} + 2 (k - 2) \sqrt{D} + D - (k - 2)^{2} + 2 (k - 2) \sqrt{D} - D) .$

Упрощаем:

$x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = (k - 2) \sqrt{D} .$

Разность кубов $x_{2}^{3} - x_{1}^{3}$ :

Используем формулу разности кубов:

$x_{2}^{3} - x_{1}^{3} = (x_{2}^{2} - x_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + x_{2} x_{1} + x_{1}^{2}) = \sqrt{D} \cdot \frac{1}{4} ((k - 2)^{2} +$

$+ 2 (k - 2) \sqrt{D} + D + (k - 2)^{2} - 2 (k - 2) \sqrt{D} + D) .$

Упрощаем:

$x_{2}^{3} - x_{1}^{3} = \frac{1}{4} \sqrt{D} (D + 3 (k - 2)^{2}) .$

Шаг 4: Подставляем выражения для разностей

Теперь подставим эти выражения в формулу для площади:

$S = \frac{(k - 2) \sqrt{D} \cdot (k - 2)}{2} + 4 \sqrt{D} - \frac{\frac{1}{4} \sqrt{D} (D + 3 (k - 2)^{2})}{3} .$

Упростим это выражение:

$S = \frac{3 (k - 2)^{2} \cdot \sqrt{D} + 24 \sqrt{D} - \frac{1}{2} \sqrt{D} (D + 3 (k - 2)^{2})}{6} .$

После упрощения:

$S = \sqrt{D} \cdot \frac{3 (k - 2)^{2} + 24 - \frac{1}{2} D - \frac{3}{2} (k - 2)^{2}}{6} .$

Далее упрощаем еще раз:

$S = \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} - 6 k + 6 + 24 - \frac{D}{2}),$ $S = \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} - 6 k + 30 - \frac{D}{2}) .$

Теперь подставляем значение $D = k^{2} - 4 k + 20$ :

$S = \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} - 6 k + 30 - \frac{k^{2} - 4 k + 20}{2}) .$

Упростим:

$S = \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} - 6 k + 30 - \frac{1}{2} k^{2} + 2 k - 10),$ $S = \frac{\sqrt{D}}{6} \cdot (\frac{3}{2} k^{2} + 20 - 4 k) .$

Таким образом, окончательная формула для площади:

$S = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{k^{2} - 4 k + 20} \cdot (k^{2} + 20 - 4 k) .$

Шаг 5: Производная площади

Теперь найдем производную площади $S$ :

$S^{'} (k) = \frac{1}{6} \cdot (k^{2} + 20 - 4 k)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} \cdot (2 k - 4) \cdot (k^{2} + 20 - 4 k)^{\frac{1}{2}} .$

Упростим:

$S^{'} (k) = \frac{1}{4} \cdot 2 (k - 2) \cdot \sqrt{k^{2} + 20 - 4 k} .$

Шаг 6: Промежуток возрастания площади

Площадь возрастает, когда $S^{'} (k) > 0$ , то есть когда:

$k - 2 > 0, отсюда k > 2.$

Шаг 7: Искомые значения

Точка минимума $k = 2$ — это точка, где функция достигает минимального значения.

Ответ:

$2 .$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Задачи для внеклассной работы