ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1618 Алимов — Подробные Ответы

При каком значении к площадь фигуры, заключённой между параболой у = х2 + 2х — 3 и прямой у = kx + 1, наименьшая?

Дана функция $f(x)=x^2+2x-3$ и прямая $y=kx+1$.

Точки пересечения функций:

$$x^2+2x-3=kx+1;$$$$x^2+(2-k)x-4=0;$$$$D=(2-k{)}^2+4\cdot 4=4-4k+k^2+16=k^2-4k+20,$$

тогда:

$$x=\frac{k-2\pm \sqrt{k^2-4k+20}}{2}\mathrm{.}$$

Площадь фигуры, заключенной между функциями:

$$S={\int }_{x_1}^{x_2}(kx+1-x^2-2x+3)dx={\int }_{x_1}^{x_2}(kx+4-x^2-2x)dx=$$$$=(k\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot \frac{x^1}{1}-\frac{x^3}{3}-2\cdot \frac{x^2}{2}){\mid }_{x_1}^{x_2}=(\frac{x^2(k-2)}{2}+4x-\frac{x^3}{3}){\mid }_{x_1}^{x_2}=$$$$=\frac{(x_2^2-x_1^2)(k-2)}{2}+4(x_2-x_1)-\frac{(x_2^3-x_1^3)}{3}\mathrm{.}$$

Значение разности:

$$x_2-x_1=\frac{k-2+\sqrt{D}}{2}-\frac{k-2-\sqrt{D}}{2}=\frac{2\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D};$$

Значение разности:

$$x_2^2-x_1^2=\frac{1}{4}((k-2{)}^2+2(k-2)\sqrt{D}+D-(k-2{)}^2+2(k-2)\sqrt{D}-D)=$$$$=\frac{1}{4}\cdot 4(k-2)\sqrt{D}=(k-2)\sqrt{D};$$

Значение разности:

$$x_2^3-x_1^3=(x_2^2-x_1^2)(x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2)=\sqrt{D}\cdot \frac{1}{4}((k-2{)}^2+2(k-2)\sqrt{D}+D+$$

$$+(k-2{)}^2-2(k-2)\sqrt{D}+D)=$$$$=\frac{1}{4}\sqrt{D}(D+3(k-2{)}^2)\mathrm{.}$$

Подставим известные значения:

$$S=\frac{(k-2)\sqrt{D}\cdot (k-2)}{2}+4\sqrt{D}-\frac{\frac{1}{4}\sqrt{D}(D+3(k-2{)}^2)}{3}=$$$$=\frac{3(k-2{)}^2\cdot \sqrt{D}+24\sqrt{D}-\frac{1}{2}\sqrt{D}(D+3(k-2{)}^2)}{6}=$$$$=\sqrt{D}\cdot \frac{3(k-2{)}^2+24-\frac{1}{2}D-\frac{3}{2}(k-2{)}^2}{6}=$$$$=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2-6k+6+24-\frac{D}{2})=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2-6k+30-\frac{D}{2})=$$$$=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2-6k+30-\frac{k^2-4k+20}{2})=$$$$=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2-6k+30-\frac{1}{2}{k}^2+2k-10)=$$$$=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2+20-4k)=\frac{1}{6}\cdot \sqrt{k^2-4k+20}\cdot (k^2+20-4k)=$$$$=\frac{1}{6}\cdot \sqrt{(k^2+20-4k{)}^3}\mathrm{.}$$

Производная функции:

$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{6}\cdot (k^2+20-4k{)}^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{2}\cdot (2k-4)\cdot (k^2+20-4k{)}^{\frac{1}{2}}=$$$$=\frac{1}{4}\cdot 2(k-2)\cdot \sqrt{k^2+20-4k}\mathrm{.}$$

Промежуток возрастания:

$$k-2>0,\text{отсюда }k>2.$$

Искомые значения:

$$k=2\text{ — точка минимума.}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2}}$$

Нам нужно найти:

1. Точки пересечения функций $f(x)=x^2+2x-3$ и $y=kx+1$.
2. Площадь фигуры, заключенной между графиками этих функций.
3. Производную площади.
4. Условия возрастания этой площади.

Шаг 1: Нахождение точек пересечения функций

Для нахождения точек пересечения этих двух функций приравняем их:

$$f(x)=kx+1,$$$$x^2+2x-3=kx+1.$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2+2x-3-kx-1=0,$$$$x^2+(2-k)x-4=0.$$

Теперь это квадратное уравнение. Для нахождения корней применим дискриминант. Напишем дискриминант $D$ для этого уравнения:

$$D=(2-k{)}^2-4\cdot 1\cdot (-4)\mathrm{.}$$$$D=(2-k{)}^2+16.$$

Раскроем квадрат:

$$D=4-4k+k^2+16=k^2-4k+20.$$

Таким образом, дискриминант уравнения пересечения:

$$D=k^2-4k+20.$$

Теперь, зная дискриминант, находим корни уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\mathrm{.}$$

В нашем случае $a=1$, $b=2-k$, и $D=k^2-4k+20$. Подставляем значения:

$$x=\frac{-(2-k)\pm \sqrt{k^2-4k+20}}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, точки пересечения $x_1$ и $x_2$ находятся по формуле:

$$x=\frac{k-2\pm \sqrt{k^2-4k+20}}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Нахождение площади фигуры, заключенной между графиками

Площадь, заключенная между графиками, находится с использованием интеграла. Мы интегрируем разницу между функциями на интервале $[x_1,x_2]$:

$$S={\int }_{x_1}^{x_2}((kx+1)-(x^2+2x-3))dx\mathrm{.}$$

Упростим подынтегральное выражение:

$$S={\int }_{x_1}^{x_2}(kx+1-x^2-2x+3)dx\mathrm{.}$$

Это выражение можно упростить до:

$$S={\int }_{x_1}^{x_2}(kx+4-x^2-2x)dx,$$$$S={\int }_{x_1}^{x_2}((k-2)x+4-x^2)dx\mathrm{.}$$

Теперь интегрируем каждое из этих выражений по отдельности:

$$S=(k\cdot \frac{x^2}{2}+4\cdot \frac{x}{1}-\frac{x^3}{3}-2\cdot \frac{x^2}{2}){\mid }_{x_1}^{x_2}\mathrm{.}$$

После упрощения получаем:

$$S=(\frac{x^2(k-2)}{2}+4x-\frac{x^3}{3}){\mid }_{x_1}^{x_2}\mathrm{.}$$

Таким образом, площадь фигуры будет равна:

$$S=\frac{(x_2^2-x_1^2)(k-2)}{2}+4(x_2-x_1)-\frac{(x_2^3-x_1^3)}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Выражения для разностей $x_2-x_1$, $x_2^2-x_1^2$, $x_2^3-x_1^3$

Для дальнейшего упрощения используем выражения для разностей:

Разность $x_2-x_1$:

$$x_2-x_1=\frac{k-2+\sqrt{D}}{2}-\frac{k-2-\sqrt{D}}{2}=\sqrt{D}\mathrm{.}$$

Разность квадратов $x_2^2-x_1^2$:

Используя разность квадратов, получаем:

$$x_2^2-x_1^2=\frac{1}{4}((k-2{)}^2+2(k-2)\sqrt{D}+D-(k-2{)}^2+2(k-2)\sqrt{D}-D)\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$x_2^2-x_1^2=(k-2)\sqrt{D}\mathrm{.}$$

Разность кубов $x_2^3-x_1^3$:

Используем формулу разности кубов:

$$x_2^3-x_1^3=(x_2^2-x_1^2)(x_2^2+x_2{x}_1+x_1^2)=\sqrt{D}\cdot \frac{1}{4}((k-2{)}^2+$$

$$+2(k-2)\sqrt{D}+D+(k-2{)}^2-2(k-2)\sqrt{D}+D)\mathrm{.}$$

Упрощаем:

$$x_2^3-x_1^3=\frac{1}{4}\sqrt{D}(D+3(k-2{)}^2)\mathrm{.}$$

Шаг 4: Подставляем выражения для разностей

Теперь подставим эти выражения в формулу для площади:

$$S=\frac{(k-2)\sqrt{D}\cdot (k-2)}{2}+4\sqrt{D}-\frac{\frac{1}{4}\sqrt{D}(D+3(k-2{)}^2)}{3}\mathrm{.}$$

Упростим это выражение:

$$S=\frac{3(k-2{)}^2\cdot \sqrt{D}+24\sqrt{D}-\frac{1}{2}\sqrt{D}(D+3(k-2{)}^2)}{6}\mathrm{.}$$

После упрощения:

$$S=\sqrt{D}\cdot \frac{3(k-2{)}^2+24-\frac{1}{2}D-\frac{3}{2}(k-2{)}^2}{6}\mathrm{.}$$

Далее упрощаем еще раз:

$$S=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2-6k+6+24-\frac{D}{2}),$$$$S=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2-6k+30-\frac{D}{2})\mathrm{.}$$

Теперь подставляем значение $D=k^2-4k+20$:

$$S=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2-6k+30-\frac{k^2-4k+20}{2})\mathrm{.}$$

Упростим:

$$S=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2-6k+30-\frac{1}{2}{k}^2+2k-10),$$$$S=\frac{\sqrt{D}}{6}\cdot (\frac{3}{2}{k}^2+20-4k)\mathrm{.}$$

Таким образом, окончательная формула для площади:

$$S=\frac{1}{6}\cdot \sqrt{k^2-4k+20}\cdot (k^2+20-4k)\mathrm{.}$$

Шаг 5: Производная площади

Теперь найдем производную площади $S$:

$$S^{\mathrm{\prime }}(k)=\frac{1}{6}\cdot (k^2+20-4k{)}^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{2}\cdot (2k-4)\cdot (k^2+20-4k{)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{.}$$

Упростим:

$$S^{\mathrm{\prime }}(k)=\frac{1}{4}\cdot 2(k-2)\cdot \sqrt{k^2+20-4k}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Промежуток возрастания площади

Площадь возрастает, когда $S^{\mathrm{\prime }}(k)>0$, то есть когда:

$$k-2>0,\text{отсюда }k>2.$$

Шаг 7: Искомые значения

Точка минимума $k=2$ — это точка, где функция достигает минимального значения.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2}}\mathrm{.}$$