ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1617 Алимов — Подробные Ответы

На параболе у = 2×2 — 3х + 8 найти точки, касательные в которых проходят через начало координат.

Дана функция:

$$f(x) = 2x^2 — 3x + 8;$$

Уравнение касательной в точке $a$:

$$f'(x) = 2(x^2)’ — (3x — 8)’ = 2 \cdot 2x — 3 = 4x — 3;$$ $$f'(a) = 4a — 3 \quad \text{и} \quad f(a) = 2a^2 — 3a + 8;$$ $$y = 2a^2 — 3a + 8 + (4a — 3)(x — a);$$ $$y = 2a^2 — 3a + 8 + 4ax — 4a^2 — 3x + 3a;$$ $$y = -2a^2 + 4ax — 3x + 8;$$

Касательные, проходящие через точку $O(0; 0)$:

$$0 = -2a^2 + 4a \cdot 0 — 3 \cdot 0 + 8;$$ $$2a^2 = 8;$$ $$a^2 = 4, \quad \text{отсюда } a = \pm 2;$$ $$y_1 = 2 \cdot (-2)^2 — 3 \cdot (-2) + 8 = 8 + 6 + 8 = 22;$$ $$y_2 = 2 \cdot 2^2 — 3 \cdot 2 + 8 = 8 — 6 + 8 = 10;$$

Ответ: $(-2; 22)$; $(2; 10)$.

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для нахождения уравнения касательной в точке $a$ сначала найдем производную функции $f(x) = 2x^2 — 3x + 8$.

Используем правила дифференцирования:

1. Производная $2x^2$ равна $4x$, так как $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$, а множитель 2 остается.
2. Производная $-3x$ равна $-3$, так как $\frac{d}{dx}(x) = 1$, а множитель -3 остается.
3. Производная константы $8$ равна 0.

Таким образом, производная функции $f(x)$:

$$f'(x) = 4x — 3.$$

Шаг 2: Вычисление производной в точке $a$

Теперь найдем значение производной в точке $a$:

$$f'(a) = 4a — 3.$$

Это значение производной в точке $a$ дает угловой коэффициент касательной.

Шаг 3: Нахождение значения функции $f(a)$

Теперь найдем значение функции $f(x)$ в точке $a$, то есть $f(a)$:

$$f(a) = 2a^2 — 3a + 8.$$

Это значение функции в точке $a$ будет равно $y$-координате точки касания.

Шаг 4: Запись уравнения касательной

Общее уравнение касательной к функции $f(x)$ в точке $a$ можно записать по формуле:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a).$$

Подставляем найденные значения $f(a)$ и $f'(a)$:

$$y = 2a^2 — 3a + 8 + (4a — 3)(x — a).$$

Раскроем скобки:

$$y = 2a^2 — 3a + 8 + (4a — 3)x — (4a — 3)a.$$

Упростим выражение:

$$y = 2a^2 — 3a + 8 + (4a — 3)x — (4a^2 — 3a).$$

Приведем подобные члены:

$$y = 2a^2 — 4a^2 — 3a + 3a + 8 + (4a — 3)x.$$

Упрощаем:

$$y = -2a^2 + 8 + (4a — 3)x.$$

Итак, уравнение касательной в точке $a$ имеет вид:

$$y = -2a^2 + 8 + (4a — 3)x.$$

Шаг 5: Касательные, проходящие через точку $O(0, 0)$

Теперь нам нужно найти такие значения $a$, при которых касательная проходит через точку $O(0, 0)$.

Подставим $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение касательной:

$$0 = -2a^2 + 8 + (4a — 3) \cdot 0.$$

Упростим:

$$0 = -2a^2 + 8.$$

Решим это уравнение относительно $a$:

$$2a^2 = 8,$$ $$a^2 = 4,$$ $$a = \pm 2.$$

Шаг 6: Нахождение точек касания

Теперь, зная, что $a = \pm 2$, найдем координаты точек касания для каждого из этих значений.

Для $a = -2$:

Подставим $a = -2$ в уравнение функции $f(x) = 2x^2 — 3x + 8$:

$$f(-2) = 2(-2)^2 — 3(-2) + 8 = 2 \cdot 4 + 6 + 8 = 8 + 6 + 8 = 22.$$

Таким образом, точка касания для $a = -2$ имеет координаты $(-2, 22)$.

Для $a = 2$:

Подставим $a = 2$ в уравнение функции $f(x) = 2x^2 — 3x + 8$:

$$f(2) = 2(2)^2 — 3(2) + 8 = 2 \cdot 4 — 6 + 8 = 8 — 6 + 8 = 10.$$

Таким образом, точка касания для $a = 2$ имеет координаты $(2, 10)$.

Шаг 7: Ответ

Итак, касательные, проходящие через точку $O(0, 0)$, имеют следующие точки касания:

$$(-2, 22) \quad \text{и} \quad (2, 10).$$

Ответ: $(-2; 22)$; $(2; 10)$.