ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1615 Алимов — Подробные Ответы

Задача

$\frac{7 — 3x + \sqrt{x^2 + 3x — 4}}{x — 3} < -1;$

Краткий ответ:

Решить неравенство:

$\frac{7 - 3 x + \sqrt{x^{2} + 3 x - 4}}{x - 3} < - 1;$

Знаменатель дроби:

$x - 3 > 0;$ $x > 3;$

Если $x > 3$ , тогда:

$7 - 3 x + \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} < - 1 \cdot (x - 3);$ $\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} < - x + 3 - 7 + 3 x;$ $\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} < 2 x - 4;$ $x^{2} + 3 x - 4 < 4 x^{2} - 16 x + 16;$ $3 x^{2} - 19 x + 20 > 0;$ $D = 19^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 361 - 240 = 121, тогда:$ $x_{1} = \frac{19 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} и x_{2} = \frac{19 + 11}{2 \cdot 3} = 5;$ $(x - \frac{4}{3}) (x - 5) > 0;$ $x < \frac{4}{3} и x > 5;$

Если $x < 3$ , тогда:

$7 - 3 x + \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} > - 1 \cdot (x - 3);$ $\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} > 2 x - 4;$

Правая часть неравенства:

$2 x - 4 \geq 0;$ $x - 2 \geq 0, отсюда x \geq 2;$

Если $2 \leq x < 3$ , тогда:

$x^{2} + 3 x - 4 > 4 x^{2} + 16 x + 16;$ $3 x^{2} - 19 x + 20 < 0;$ $(x - \frac{4}{3}) (x - 5) < 0;$ $\frac{4}{3} < x < 5;$

Если $x < 2$ , тогда:
Верно при любом допустимом значении $x$ ;

Выражение имеет смысл при:

$x^{2} + 3 x - 4 \geq 0;$ $D = 3^{2} + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, тогда:$ $x_{1} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4 и x_{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1;$ $(x + 4) (x - 1) \geq 0;$ $x \leq - 4 и x \geq 1;$

Ответ: $x \in (- \infty; - 4] \cup [1; 3) \cup (5; + \infty)$ .

Подробный ответ:

Дано неравенство:

$\frac{7 - 3 x + \sqrt{x^{2} + 3 x - 4}}{x - 3} < - 1.$

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы решить это неравенство, нужно прежде всего найти область допустимых значений для выражения под корнем и знаменателя.

Знаменатель дроби: $x - 3$

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому:

$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3.$

Корень $\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}$

Для того чтобы выражение под корнем имело смысл, необходимо, чтобы $x^{2} + 3 x - 4 \geq 0$ .

Найдем корни квадратного уравнения:

$x^{2} + 3 x - 4 = 0.$

Для этого воспользуемся дискриминантом:

$D = b^{2} - 4 a c = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4) = 9 + 16 = 25.$

Корни уравнения:

$x_{1} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4, x_{2} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1.$

Таким образом, у нас есть факторизация:

$x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1) .$

Теперь определим, при каких значениях $x$ выражение под корнем больше или равно нулю. Для этого решим неравенство:

$(x + 4) (x - 1) \geq 0.$

Это неравенство выполняется, когда:

$x \leq - 4 или x \geq 1.$

Таким образом, выражение под корнем имеет смысл при $x \in (- \infty, - 4] \cup [1, + \infty)$ .

Шаг 2: Обработка неравенства

Теперь займемся самим неравенством:

$\frac{7 - 3 x + \sqrt{x^{2} + 3 x - 4}}{x - 3} < - 1.$

Умножим обе части на $x - 3$ , но нужно учесть, что знак неравенства может измениться в зависимости от знака $x - 3$ . Рассмотрим два случая:

Шаг 3: Рассмотрение случаев

Случай 1: $x > 3$

Если $x > 3$ , то множитель $x - 3 > 0$ , и неравенство не меняет знак. Умножаем обе части на $x - 3$ :

$7 - 3 x + \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} < - 1 \cdot (x - 3),$ $7 - 3 x + \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} < - x + 3 - 7 + 3 x,$ $\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} < 2 x - 4.$

Теперь убираем корень, возведя обе части в квадрат:

$x^{2} + 3 x - 4 < (2 x - 4)^{2} .$

Раскрываем квадрат:

$x^{2} + 3 x - 4 < 4 x^{2} - 16 x + 16.$

Переносим все в одну сторону:

$x^{2} + 3 x - 4 - 4 x^{2} + 16 x - 16 < 0,$ $- 3 x^{2} + 19 x - 20 < 0.$

Умножим обе части на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

$3 x^{2} - 19 x + 20 > 0.$

Решаем это неравенство через дискриминант. Найдем дискриминант:

$D = (- 19)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 361 - 240 = 121.$

Корни уравнения:

$x_{1} = \frac{- (- 19) - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{19 - 11}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3},$ $x_{2} = \frac{- (- 19) + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{19 + 11}{6} = \frac{30}{6} = 5.$

Теперь решаем неравенство $3 x^{2} - 19 x + 20 > 0$ . Оно выполняется при:

$x < \frac{4}{3} или x > 5.$

Поскольку $x > 3$ , то для нас актуален только второй интервал:

$x > 5.$

Случай 2: $x < 3$

Если $x < 3$ , то множитель $x - 3 < 0$ , и знак неравенства меняется. Умножаем обе части на $x - 3$ , меняя знак:

$7 - 3 x + \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} > - 1 \cdot (x - 3),$ $7 - 3 x + \sqrt{x^{2} + 3 x - 4} > - x + 3 - 7 + 3 x,$ $\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} > 2 x - 4.$

Теперь рассмотрим правую часть. Чтобы она имела смысл, нужно, чтобы:

$2 x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2.$

Если $2 \leq x < 3$ , то продолжаем решение:

$x^{2} + 3 x - 4 > (2 x - 4)^{2} .$

Возводим правую часть в квадрат:

$x^{2} + 3 x - 4 > 4 x^{2} - 16 x + 16.$

Переносим все в одну сторону:

$x^{2} + 3 x - 4 - 4 x^{2} + 16 x - 16 < 0,$ $- 3 x^{2} + 19 x - 20 < 0.$

Решаем это неравенство:

$(x - \frac{4}{3}) (x - 5) < 0.$

Это неравенство выполняется, когда:

$\frac{4}{3} < x < 5.$

Таким образом, для $2 \leq x < 3$ , решение — это интервал:

$\frac{4}{3} < x < 5.$

Случай 3: $x < 2$

Для $x < 2$ неравенство всегда выполняется, так как:

$\sqrt{x^{2} + 3 x - 4} > 2 x - 4.$

Шаг 4: Окончательное решение

Таким образом, окончательное решение:

$x \in (- \infty, - 4] \cup [1, 3) \cup (5, + \infty) .$

Оцени решение