ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1613 Алимов — Подробные Ответы

1. log1/2(1+x) — корень (x2-4) < =0;
2. 1/log5(3-2x) — 1/(4-log5(3-2x)) < 0.

${\mathrm{1)\; log}}_{\frac{1}{2}}(1+x)-\sqrt{x^2-4}\le 0$;

$${\log }_{\frac{1}{2}}(1+x)\le \sqrt{x^2-4}\mid \cdot (-1);$$$${\log }_2(1+x)\ge -\sqrt{x^2-4}\text{при любом}x;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1+x>0,\text{отсюда}x>-1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2-4\ge 0;$$$$x^2\ge 4;$$$$x\le -2\text{и}x\ge 2;$$

Ответ: $x\ge 2$.

2) $\frac{1}{{\log }_5(3-2x)}-\frac{1}{4-{\log }_5(3-2x)}<0$;

Пусть $y={\log }_5(3-2x)$, тогда:

$$\frac{1}{y}-\frac{1}{4-y}<0;$$$$4-y-y$$$$\frac{2-y}{y(4-y)}<0;$$$$y\cdot (2-y)\cdot (4-y)<0;$$$$y<0\text{и}2<y<4;$$

Первое значение:

$${\log }_5(3-2x)<0;$$$${\log }_5(3-2x)<{\log }_5(5^0);$$$$3-2x<1;$$$$2x>2,\text{отсюда}x>1;$$

Второе значение:

$${\log }_5(3-2x)>2;$$$${\log }_5(3-2x)>{\log }_5(5^2);$$$$3-2x>25;$$$$2x<-22,\text{отсюда}x<-11;$$

Третье значение:

$${\log }_5(3-2x)<4;$$$${\log }_5(3-2x)<{\log }_5(5^4);$$$$3-2x<625;$$$$2x>-622,\text{отсюда}x>-311;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3-2x>0;$$$$2x<3,\text{отсюда}x<1.5;$$

Ответ: $-311<x<-11$; $1<x<1.5$.

Задача 1:

Неравенство:

$${\log }_{\frac{1}{2}}(1+x)-\sqrt{x^2-4}\le 0$$

Шаг 1: Преобразование неравенства с логарифмом.

Необходимо решить неравенство с логарифмом, где основание $\frac{1}{2}$ меньше единицы. Важно помнить, что если основание логарифма меньше 1, то логарифм убывает. Это означает, что неравенство меняет знак при умножении обеих частей на $-1$. Точно так же, как в случае с логарифмом, когда основание меньше 1, неравенство переворачивается:

$${\log }_{\frac{1}{2}}(1+x)\le \sqrt{x^2-4}\text{умножаем на}(-1)\Rightarrow {\log }_2(1+x)\ge -\sqrt{x^2-4}\mathrm{.}$$

Теперь у нас есть неравенство:

$${\log }_2(1+x)\ge -\sqrt{x^2-4}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Область определения выражений.

Для того чтобы выражения в логарифме и под квадратным корнем имели смысл, нам нужно найти область допустимых значений $x$. Начнем с логарифма.

1. Логарифм ${\log }_2(1+x)$ существует, когда $1+x>0$, то есть:$$x>-1.$$
2. Подкоренное выражение $\sqrt{x^2-4}$ имеет смысл только если $x^2-4\ge 0$, что эквивалентно:$$x^2\ge 4\Rightarrow x\le -2\text{или}x\ge 2.$$

Таким образом, область определения выражений для $x$ будет пересечением условий:

• $x>-1$ (из условия для логарифма),
• $x\le -2$ или $x\ge 2$ (из условия для квадратного корня).

Объединяя эти условия, получаем:

$$x\ge 2.$$

Шаг 3: Исследуем неравенство.

Теперь мы рассматриваем неравенство:

$${\log }_2(1+x)\ge -\sqrt{x^2-4}\mathrm{.}$$

Для $x\ge 2$ (так как $x\ge 2$ должно выполняться для того, чтобы выражения имели смысл), мы видим, что и ${\log }_2(1+x)$, и $-\sqrt{x^2-4}$ являются положительными числами (логарифм для $x\ge 2$ положителен, и корень из выражения $x^2-4$ также положителен).

Таким образом, на основании области определения мы можем заключить, что неравенство выполнится для $x\ge 2$.

Ответ:

$$x\ge 2.$$

Задача 2:

Неравенство:

$$\frac{1}{{\log }_5(3-2x)}-\frac{1}{4-{\log }_5(3-2x)}<0$$

Шаг 1: Вводим замену.

Для удобства вводим замену $y={\log }_5(3-2x)$. Тогда исходное неравенство принимает вид:

$$\frac{1}{y}-\frac{1}{4-y}<0.$$

Шаг 2: Преобразуем неравенство.

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{y}-\frac{1}{4-y}=\frac{(4-y)-y}{y(4-y)}=\frac{4-2y}{y(4-y)}\mathrm{.}$$

Теперь неравенство имеет вид:

$$\frac{4-2y}{y(4-y)}<0.$$

Шаг 3: Исследуем знак выражения.

Для того чтобы дробь была отрицательной, числитель и знаменатель должны иметь противоположные знаки. Рассмотрим знак числителя и знаменателя поочередно:

1. Числитель $4-2y$ меняет знак при $y=2$.
2. Знаменатель $y(4-y)$ имеет нули при $y=0$ и $y=4$.

Таким образом, мы исследуем знак на интервалах $y<0$, $0<y<2$, $2<y<4$, и $y>4$.

Шаг 4: Разрешаем неравенство.

Давайте разберем это по частям:

1. Для $y<0$: числитель положительный, знаменатель положительный, дробь положительная.
2. Для $0<y<2$: числитель положительный, знаменатель положительный, дробь положительная.
3. Для $2<y<4$: числитель отрицательный, знаменатель положительный, дробь отрицательная (неравенство выполняется).
4. Для $y>4$: числитель отрицательный, знаменатель отрицательный, дробь положительная.

Таким образом, неравенство выполняется при $0<y<2$ или $2<y<4$.

Шаг 5: Переводим обратно в $x$.

Теперь возвращаемся к переменной $y={\log }_5(3-2x)$ и решаем каждое из этих неравенств.

$0<{\log }_5(3-2x)<2$:

• ${\log }_5(3-2x)>0\Rightarrow 3-2x>1\Rightarrow x<1$,
• ${\log }_5(3-2x)<2\Rightarrow 3-2x<25\Rightarrow x>-11$.

Таким образом, первое условие даёт интервал $-11<x<1$.

$2<{\log }_5(3-2x)<4$:

• ${\log }_5(3-2x)>2\Rightarrow 3-2x>25\Rightarrow x<-11$,
• ${\log }_5(3-2x)<4\Rightarrow 3-2x<625\Rightarrow x>-311$.

Таким образом, второе условие даёт интервал $-311<x<-11$.

Шаг 6: Проверка области определения.

Выражение ${\log }_5(3-2x)$ имеет смысл, если $3-2x>0$, что даёт условие:

$$x<\mathrm{1.5.}$$

Ответ:

Объединяя все найденные интервалы, получаем:

$$-311<x<-11\text{или}1<x<\mathrm{1.5.}$$

Таким образом, ответ: $-311<x<-11$ и $1<x<1.5$.

Итоговые ответы:

1. $x\ge 2$.
2. $-311<x<-11$ и $1<x<1.5$.