ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1611 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых является верным при всех значениях х неравенство:

1. (8×2-4x+3)/(4×2-2x+1) < =a;
2. (3×2-4x+8)/(9×2-12x+16) > =a

1) $\frac{8x^2 — 4x + 3}{4x^2 — 2x + 1} \leq a$;

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{(8x^2 — 4x + 3)’ \cdot (4x^2 — 2x + 1) — (8x^2 — 4x + 3) \cdot (4x^2 — 2x + 1)’}{(4x^2 — 2x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{(8 \cdot 2x — 4) \cdot (4x^2 — 2x + 1) — (8x^2 — 4x + 3) \cdot (4 \cdot 2x — 2)}{(4x^2 — 2x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{64x^3 — 32x^2 + 16x — 16x^3 + 8x^2 — 4 — 64x^3 + 16x^2 + 32x^2 — 8x — 24x + 6}{(4x^2 — 2x + 1)^2};$$ $$f'(x) = \frac{2 — 8x}{(4x^2 — 2x + 1)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$2 — 8x > 0;$$ $$1 — 4x > 0;$$ $$4x < 1, \text{ отсюда } x < \frac{1}{4};$$ $$x = \frac{1}{4} \text{ — точка максимума; }$$

Наибольшее значение функции:

$$f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{8 \cdot \frac{1}{16} — 4 \cdot \frac{1}{4} + 3}{4 \cdot \frac{1}{16} — 2 \cdot \frac{1}{4} + 1} = \frac{0,5 — 1 + 3}{0,25 — 0,5 + 1} = \frac{2,5}{0,75} = \frac{250}{75} = 3 \frac{25}{75} = 3 \frac{1}{3};$$

Ответ: $a \geq 3 \frac{1}{3}$.

2) $\frac{3x^2 — 4x + 8}{9x^2 — 12x + 16} \geq a$;

Производная функции:

$$f(x) = \frac{(3x^2 — 4x + 8)’ \cdot (9x^2 — 12x + 16) — (3x^2 — 4x + 8) \cdot (9x^2 — 12x + 16)’}{(9x^2 — 12x + 16)^2};$$ $$f(x) = \frac{(3 \cdot 2x — 4) \cdot (9x^2 — 12x + 16) — (3x^2 — 4x + 8) \cdot (9 \cdot 2x — 12)}{(9x^2 — 12x + 16)^2};$$ $$f(x) = \frac{54x^3 — 72x^2 + 96x — 36x^2 + 48x — 64 — 54x^3 + 36x^2 + 72x^2 — 48x — 144x + 96}{(9x^2 — 12x + 16)^2};$$ $$f(x) = \frac{32 — 48x}{(9x^2 — 12x + 16)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$32 — 48x > 0;$$ $$2 — 3x > 0;$$ $$3x < 2, \text{ отсюда } x < \frac{2}{3};$$ $$x = \frac{2}{3} \text{ — точка максимума (не подходит); }$$

Передел функции:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 — 4x + 8}{9x^2 — 12x + 16} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 — \frac{4}{x} + \frac{8}{x^2}}{9 — \frac{12}{x} + \frac{16}{x^2}} = \frac{3 — 0 + 0}{9 — 0 + 0} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3};$$

Ответ: $a \leq \frac{1}{3}$.

Задача 1:

Неравенство:

$$\frac{8x^2 — 4x + 3}{4x^2 — 2x + 1} \leq a$$

1. Производная функции:

Наша цель — найти производную функции $f(x) = \frac{8x^2 — 4x + 3}{4x^2 — 2x + 1}$. Для этого используем правило дифференцирования частного:

$$f'(x) = \frac{(u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x))}{v(x)^2}$$

где:

• $u(x) = 8x^2 — 4x + 3$
• $v(x) = 4x^2 — 2x + 1$

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

• $u'(x) = 16x — 4$
• $v'(x) = 8x — 2$

Подставляем в формулу:

$$f'(x) = \frac{(16x — 4)(4x^2 — 2x + 1) — (8x^2 — 4x + 3)(8x — 2)}{(4x^2 — 2x + 1)^2}$$

Теперь, давайте упростим числитель. Раскроем скобки:

$$(16x — 4)(4x^2 — 2x + 1) = 64x^3 — 32x^2 + 16x — 16x^2 + 8x — 4$$ $$(8x^2 — 4x + 3)(8x — 2) = 64x^3 — 16x^2 + 24x — 32x^2 + 8x — 6$$

Теперь подставим эти выражения в числитель производной:

$$f'(x) = \frac{64x^3 — 32x^2 + 16x — 16x^2 + 8x — 4 — (64x^3 — 16x^2 + 24x — 32x^2 + 8x — 6)}{(4x^2 — 2x + 1)^2}$$

Приведем подобные слагаемые:

$$f'(x) = \frac{64x^3 — 32x^2 + 16x — 16x^2 + 8x — 4 — 64x^3 + 16x^2 — 24x + 32x^2 — 8x + 6}{(4x^2 — 2x + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{(64x^3 — 64x^3) + (-32x^2 — 16x^2 + 32x^2) + (16x — 24x — 8x) + (-4 + 6)}{(4x^2 — 2x + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2 — 8x}{(4x^2 — 2x + 1)^2}$$

Теперь мы получаем производную:

$$f'(x) = \frac{2 — 8x}{(4x^2 — 2x + 1)^2}$$

2. Исследование на возрастание/убывание:

Для нахождения промежутков возрастания и убывания исследуем знак производной $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{2 — 8x}{(4x^2 — 2x + 1)^2}$$

Числитель: $2 — 8x$

Знаменатель: $(4x^2 — 2x + 1)^2$ всегда положителен, так как это квадратный многочлен, который всегда положителен для всех $x$.

Исследуем числитель:

$$2 — 8x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{1}{4}$$

Таким образом, функция возрастает при $x < \frac{1}{4}$ и убывает при $x > \frac{1}{4}$. Точка $x = \frac{1}{4}$ — это точка максимума функции.

3. Наибольшее значение функции:

Найдем наибольшее значение функции в точке $x = \frac{1}{4}$:

$$f\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{8 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 — 4 \cdot \frac{1}{4} + 3}{4 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 — 2 \cdot \frac{1}{4} + 1}$$

Сначала посчитаем числитель и знаменатель:

Числитель:

$$8 \cdot \left( \frac{1}{16} \right) — 4 \cdot \frac{1}{4} + 3 = \frac{8}{16} — 1 + 3 = 0.5 — 1 + 3 = 2.5$$

Знаменатель:

$$4 \cdot \left( \frac{1}{16} \right) — 2 \cdot \frac{1}{4} + 1 = \frac{4}{16} — \frac{2}{4} + 1 = 0.25 — 0.5 + 1 = 0.75$$

Тогда:

$$f\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{2.5}{0.75} = \frac{250}{75} = 3 \frac{1}{3}$$

Ответ: $a \geq 3 \frac{1}{3}$

Задача 2:

Неравенство:

$$\frac{3x^2 — 4x + 8}{9x^2 — 12x + 16} \geq a$$

1. Производная функции:

Найдем производную функции $f(x) = \frac{3x^2 — 4x + 8}{9x^2 — 12x + 16}$. Используем ту же формулу для производной частного:

$$f'(x) = \frac{(u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x))}{v(x)^2}$$

где:

• $u(x) = 3x^2 — 4x + 8$
• $v(x) = 9x^2 — 12x + 16$

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

• $u'(x) = 6x — 4$
• $v'(x) = 18x — 12$

Теперь подставим в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{(6x — 4)(9x^2 — 12x + 16) — (3x^2 — 4x + 8)(18x — 12)}{(9x^2 — 12x + 16)^2}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$(6x — 4)(9x^2 — 12x + 16) = 54x^3 — 72x^2 + 96x — 36x^2 + 48x — 64$$ $$(3x^2 — 4x + 8)(18x — 12) = 54x^3 — 36x^2 + 72x^2 — 48x + 144x — 96$$

Теперь подставим эти выражения в числитель:

$$f'(x) = \frac{54x^3 — 72x^2 + 96x — 36x^2 + 48x — 64 — (54x^3 — 36x^2 + 72x^2 — 48x + 144x — 96)}{(9x^2 — 12x + 16)^2}$$

Приведем подобные слагаемые:

$$f'(x) = \frac{(54x^3 — 54x^3) + (-72x^2 — 36x^2 + 72x^2) + (96x — 48x + 144x) + (-64 + 96)}{(9x^2 — 12x + 16)^2}$$ $$f'(x) = \frac{32 — 48x}{(9x^2 — 12x + 16)^2}$$

2. Исследование на возрастание/убывание:

Теперь исследуем знак производной $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{32 — 48x}{(9x^2 — 12x + 16)^2}$$

Числитель: $32 — 48x$

Знаменатель: $(9x^2 — 12x + 16)^2$ всегда положителен, как квадратный многочлен.

Исследуем числитель:

$$32 — 48x > 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{2}{3}$$

Таким образом, функция возрастает при $x < \frac{2}{3}$ и убывает при $x > \frac{2}{3}$. Точка $x = \frac{2}{3}$ — точка максимума функции.

3. Наибольшее значение функции:

Посмотрим на предел функции при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 — 4x + 8}{9x^2 — 12x + 16} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 — \frac{4}{x} + \frac{8}{x^2}}{9 — \frac{12}{x} + \frac{16}{x^2}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $a \leq \frac{1}{3}$

Таким образом, окончательные ответы:

1. $a \geq 3 \frac{1}{3}$
2. $a \leq \frac{1}{3}$