ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1610 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1. (2x-3)/(4-x) > 1/x;
2. (2x+5)/|x+1| > =1.

1)

$$\frac{2x — 3}{4 — x} > \frac{1}{x};$$ $$\frac{2x — 3}{4 — x} — \frac{1}{x} > 0;$$ $$\frac{x(2x — 3) — (4 — x)}{x(4 — x)} > 0;$$ $$\frac{2x^2 — 3x — 4 + x}{x(4 — x)} > 0;$$ $$\frac{2x^2 — 2x — 4}{x(4 — x)} > 0;$$ $$\frac{x^2 — x — 2}{x(4 — x)} > 0;$$ $$\frac{(x — 2)(x + 1)}{x(x — 4)} < 0;$$ $$(x + 1) \cdot x \cdot (x — 2) \cdot (x — 4) < 0;$$ $$-1 < x < 0 \text{ и } 2 < x < 4;$$

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (2; 4)$.

2)

$$\frac{2x + 5}{|x + 1|} \geq 1;$$

Число под знаком модуля:

$$x + 1 > 0, \text{ отсюда } x > -1;$$

Если $x > -1$, тогда:

$$\frac{2x + 5}{x + 1} \geq 1;$$ $$\frac{2x + 5}{x + 1} — 1 \geq 0;$$ $$\frac{2x + 5 — (x + 1)}{x + 1} \geq 0;$$ $$\frac{x + 4}{x + 1} \geq 0;$$ $$(x + 4)(x + 1) \geq 0;$$ $$x \leq -4 \text{ и } x > -1;$$

Если $x < -1$, тогда:

$$\frac{2x + 5}{-(x + 1)} \geq 1;$$ $$\frac{2x + 5}{x + 1} \leq -1;$$ $$\frac{2x + 5}{x + 1} + 1 \leq 0;$$ $$\frac{2x + 5 + x + 1}{x + 1} \leq 0;$$ $$\frac{3x + 6}{x + 1} \leq 0;$$ $$(x + 2)(x + 1) \leq 0;$$ $$-2 \leq x < -1;$$

Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Задача 1:

Решить неравенство:

$$\frac{2x — 3}{4 — x} > \frac{1}{x}$$

Шаг 1: Привести к общему знаменателю

Для начала перепишем неравенство:

$$\frac{2x — 3}{4 — x} — \frac{1}{x} > 0.$$

Теперь нужно привести обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для выражений $\frac{2x — 3}{4 — x}$ и $\frac{1}{x}$ — это $x(4 — x)$. Приведем дроби:

$$\frac{2x — 3}{4 — x} = \frac{(2x — 3) \cdot x}{x(4 — x)} \quad \text{и} \quad \frac{1}{x} = \frac{(4 — x)}{x(4 — x)}.$$

Теперь неравенство будет выглядеть так:

$$\frac{(2x — 3) \cdot x — (4 — x)}{x(4 — x)} > 0.$$

Шаг 2: Упростить числитель

В числителе нужно выполнить раскладки и упростить:

$$(2x — 3) \cdot x = 2x^2 — 3x,$$ $$(4 — x) = 4 — x.$$

Теперь числитель:

$$2x^2 — 3x — (4 — x) = 2x^2 — 3x — 4 + x = 2x^2 — 2x — 4.$$

Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{2x^2 — 2x — 4}{x(4 — x)} > 0.$$

Шаг 3: Упростить выражение

Теперь упростим числитель:

$$2x^2 — 2x — 4 = 2(x^2 — x — 2).$$

Следовательно, неравенство можно переписать как:

$$\frac{2(x^2 — x — 2)}{x(4 — x)} > 0.$$

Далее, упростим выражение в числителе:

$$x^2 — x — 2 = (x — 2)(x + 1).$$

Таким образом, неравенство примет вид:

$$\frac{2(x — 2)(x + 1)}{x(4 — x)} > 0.$$

Теперь можно избавиться от коэффициента 2, так как он не влияет на знак дроби:

$$\frac{(x — 2)(x + 1)}{x(4 — x)} > 0.$$

Шаг 4: Найти нули и определить знаки

Для решения неравенства $\frac{(x — 2)(x + 1)}{x(4 — x)} > 0$, определим корни числителя и знаменателя:

• $(x — 2) = 0$ при $x = 2$,
• $(x + 1) = 0$ при $x = -1$,
• $x = 0$ при $x = 0$,
• $(4 — x) = 0$ при $x = 4$.

Теперь составим промежутки на числовой оси, разделив её этими значениями:

$$x = -1, 0, 2, 4.$$

Теперь проверим знак выражения $\frac{(x — 2)(x + 1)}{x(4 — x)}$ на каждом промежутке:

1. Для $x < -1$: Все множители $(x — 2), (x + 1), x, (4 — x)$ будут отрицательными, и дробь будет положительной.
2. Для $-1 < x < 0$: Множитель $(x — 2)$ отрицателен, $(x + 1)$ положителен, $x$ отрицателен, $(4 — x)$ положителен. Итого знак дроби: отрицательный.
3. Для $0 < x < 2$: Множитель $(x — 2)$ отрицателен, $(x + 1)$ положителен, $x$ положителен, $(4 — x)$ положителен. Итого знак дроби: положительный.
4. Для $2 < x < 4$: Множитель $(x — 2)$ положителен, $(x + 1)$ положителен, $x$ положителен, $(4 — x)$ положителен. Итого знак дроби: положительный.
5. Для $x > 4$: Множитель $(x — 2)$ положителен, $(x + 1)$ положителен, $x$ положителен, $(4 — x)$ отрицателен. Итого знак дроби: отрицательный.

Шаг 5: Окончательный ответ

Итак, дробь положительна на интервалах:

$$(-1; 0) \cup (2; 4).$$

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (2; 4)$.

Задача 2:

Решить неравенство:

$$\frac{2x + 5}{|x + 1|} \geq 1.$$

Шаг 1: Рассмотреть два случая для модуля

Число под знаком модуля: $|x + 1|$, что означает, что нам нужно рассматривать два случая для $x + 1$:

1. $x + 1 > 0$, то есть $x > -1$,
2. $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.

Шаг 2: Рассмотрим случай $x > -1$

Если $x > -1$, то $|x + 1| = x + 1$. Неравенство примет вид:

$$\frac{2x + 5}{x + 1} \geq 1.$$

Теперь вычтем 1 из обеих частей:

$$\frac{2x + 5}{x + 1} — 1 \geq 0.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{2x + 5 — (x + 1)}{x + 1} \geq 0.$$

Упростим числитель:

$$\frac{x + 4}{x + 1} \geq 0.$$

Теперь решаем неравенство:

$$(x + 4)(x + 1) \geq 0.$$

Корни этого произведения: $x = -4$ и $x = -1$.

Знак произведения будет положительным, если $x \leq -4$ или $x > -1$. Поскольку $x > -1$, то решение для этого случая:

$$x > -1.$$

Шаг 3: Рассмотрим случай $x < -1$

Если $x < -1$, то $|x + 1| = -(x + 1)$. Неравенство примет вид:

$$\frac{2x + 5}{-(x + 1)} \geq 1,$$

что эквивалентно:

$$\frac{2x + 5}{x + 1} \leq -1.$$

Теперь вычтем 1 из обеих частей:

$$\frac{2x + 5}{x + 1} + 1 \leq 0.$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{2x + 5 + x + 1}{x + 1} \leq 0,$$

что упрощается до:

$$\frac{3x + 6}{x + 1} \leq 0.$$

Разложим числитель:

$$(x + 2)(x + 1) \leq 0.$$

Корни: $x = -2$ и $x = -1$. Для решения этого неравенства $-2 \leq x < -1$.

Шаг 4: Окончательный ответ

Таким образом, окончательное решение для $x$ будет:

$$x \in [-2; -1) \cup (-1; +\infty).$$

Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (-1; +\infty)$.