ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 161 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 3 степени (x3-2) = (x-2);
2. корень 3 степени (x3-5×2+16x-5) =x- 2.

1)

$$\sqrt[3]{x^3 — 2} = x — 2;$$

$$x^3 — 2 = (x — 2)^3;$$

$$x^3 — 2 = x^3 — 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 — 2^3;$$

$$x^3 — 2 = x^3 — 6x^2 + 12x — 8;$$

$$6x^2 — 12x + 6 = 0;$$

$$x^2 — 2x + 1 = 0;$$

$$(x — 1)^2 = 0;$$

$$x — 1 = 0;$$

$$x = 1;$$

Ответ:

$x = 1$

.

2)

$$\sqrt[3]{x^3 — 5x^2 + 16x — 5} = x — 2;$$

$$x^3 — 5x^2 + 16x — 5 = (x — 2)^3;$$

$$x^3 — 5x^2 + 16x — 5 = x^3 — 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 — 2^3;$$

$$x^3 — 5x^2 + 16x — 5 = x^3 — 6x^2 + 12x — 8;$$

$$x^2 + 4x + 3 = 0;$$

$$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1;$$

Ответ:

$x_1 = -3; \, x_2 = -1$

.

1)

Задана равенство:

$$\sqrt[3]{x^3 — 2} = x — 2$$

Шаг 1. Возведение обеих частей в куб

Так как у нас кубический корень, возведем обе части уравнения в куб:

$$\left(\sqrt[3]{x^3 — 2}\right)^3 = (x — 2)^3$$

Получаем:

$$x^3 — 2 = (x — 2)^3$$

Шаг 2. Раскрытие куба правой части

Для раскрытия куба применяем формулу куба бинома:

$$(a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3$$

В нашем случае

$a = x$

и

$b = 2$

. Подставим:

$$(x — 2)^3 = x^3 — 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 — 2^3$$

$$(x — 2)^3 = x^3 — 6x^2 + 12x — 8$$

Шаг 3. Подставим раскрытое выражение

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$$x^3 — 2 = x^3 — 6x^2 + 12x — 8$$

Шаг 4. Упростим уравнение

Вычитаем

$x^3$

с обеих сторон:

$$-2 = -6x^2 + 12x — 8$$

Теперь перенесем все на одну сторону:

$$6x^2 — 12x + 6 = 0$$

Шаг 5. Упростим коэффициенты

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы упростить:

$$x^2 — 2x + 1 = 0$$

Шаг 6. Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение с помощью разложения на множители:

$$(x — 1)^2 = 0$$

Таким образом, корень уравнения:

$$x — 1 = 0$$

$$x = 1$$

Ответ:

$x = 1$

.

2)

Задано уравнение:

$$\sqrt[3]{x^3 — 5x^2 + 16x — 5} = x — 2$$

Шаг 1. Возведение обеих частей в куб

Возводим обе стороны в куб, чтобы избавиться от кубического корня:

$$\left(\sqrt[3]{x^3 — 5x^2 + 16x — 5}\right)^3 = (x — 2)^3$$

Получаем:

$$x^3 — 5x^2 + 16x — 5 = (x — 2)^3$$

Шаг 2. Раскрытие куба правой части

Раскроем куб бинома для

$(x — 2)^3$

с использованием той же формулы:

$$(x — 2)^3 = x^3 — 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 — 2^3$$

Подставим:

$$(x — 2)^3 = x^3 — 6x^2 + 12x — 8$$

Шаг 3. Подставим раскрытое выражение

Теперь подставим раскрытое выражение в исходное уравнение:

$$x^3 — 5x^2 + 16x — 5 = x^3 — 6x^2 + 12x — 8$$

Шаг 4. Упростим уравнение

Вычитаем

$x^3$

с обеих сторон:

$$-5x^2 + 16x — 5 = -6x^2 + 12x — 8$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 4x + 3 = 0$$

Шаг 5. Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение

$x^2 + 4x + 3 = 0$

. Для этого найдем дискриминант:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1$$

Ответ:

$x_1 = -3; \, x_2 = -1$

.

Итоговый ответ:

1. 
   $x = 1$ 
2. 
   $x_1 = -3; \, x_2 = -1$