ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1609 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях а система уравнений

система

log3(y — 3) — 2 log9(x) = 0,

(х + а)2 -2у — 5а = 0 имеет хотя бы одно решение?

Найти, при каких значениях $a$ имеет решения система уравнений:

$$\begin{cases} \log_3(y-3) — 2\log_9 x = 0 \\ (x + a)^2 — 2y — 5a = 0 \end{cases};$$

Преобразуем первое уравнение:

$$\log_3(y-3) — 2\log_9 x = 0;$$ $$\log_3(y-3) — \log_3 x = 0;$$ $$y — 3 = x;$$

Подставим значение $x$ в первое уравнение:

$$(y — 3 + a)^2 — 2y — 5a = 0;$$ $$y^2 = 3y + ay — 3y + 9 — 3a + ay — 3a + a^2 — 2y — 5a = 0;$$ $$y^2 + 2ay — 8y + a^2 — 11a + 9 = 0;$$ $$y^2 + (2a — 8)y + (a^2 — 11a + 9) = 0;$$

Найдем дискриминант:

$$D = (2a — 8)^2 — 4(a^2 — 11a + 9);$$ $$D = 4a^2 — 32a + 64 — 4a^2 + 44a — 36 = 12a + 28 = 4(3a + 7);$$

Уравнение имеет хотя бы одно решение при $D \geq 0$:

$$3a + 7 \geq 0;$$ $$3a \geq -7, \text{ отсюда } a \geq -\frac{7}{3};$$

Корни уравнения:

$$y = \frac{-(2a — 8) \pm 2\sqrt{3a + 7}}{2} = 4 — a \pm \sqrt{3a + 7};$$

Первое значение:

$$y — 3 > 0;$$ $$4 — a — \sqrt{3a + 7} — 3 > 0;$$ $$1 — a > \sqrt{3a + 7};$$ $$1 — 2a + a^2 > 3a + 7;$$ $$a^2 — 5a — 6 > 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \text{ тогда: }$$ $$a_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \text{ и } a_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6;$$ $$(a + 1)(a — 6) > 0;$$ $$a < -1 \text{ и } a > 6;$$

Решения есть только при $(1 — a) \geq 0$:

$$-\frac{7}{3} \leq a < -1;$$

Второе значение:

$$4 — a + \sqrt{3a + 7} — 3 > 0;$$ $$\sqrt{3a + 7} > a — 1;$$ $$3a + 7 > a^2 — 2a + 1;$$ $$a^2 — 5a — 6 < 0;$$ $$(a + 1)(a — 6) < 0;$$ $$-1 < a < 6.$$

Ответ: $\boxed{-\frac{7}{3} \leq a < 6}$.

Нам нужно найти, при каких значениях $a$ система уравнений имеет решение:

$$\begin{cases} \log_3(y-3) — 2\log_9 x = 0 \\ (x + a)^2 — 2y — 5a = 0 \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразование первого уравнения

У нас есть логарифмическое уравнение:

$$\log_3(y — 3) — 2\log_9 x = 0.$$

Для упрощения выражений, давайте преобразуем логарифм с основанием 9 в логарифм с основанием 3. Напоминаю, что $\log_9 x = \log_3 x^2 = 2 \log_3 x$. Таким образом, уравнение примет вид:

$$\log_3(y — 3) — 2 \cdot 2 \log_3 x = 0,$$

что можно упростить до:

$$\log_3(y — 3) — 4 \log_3 x = 0.$$

Теперь выразим это уравнение как:

$$\log_3(y — 3) = 4 \log_3 x.$$

Используем свойство логарифмов, что $\log_b a = c$ эквивалентно $a = b^c$, для получения:

$$y — 3 = x^4.$$

Таким образом, мы получаем следующее:

$$y = x^4 + 3.$$

Шаг 2: Подстановка выражения для $y$ во второе уравнение

Теперь подставим $y = x^4 + 3$ в исходное второе уравнение:

$$(x + a)^2 — 2y — 5a = 0.$$

Получаем:

$$(x + a)^2 — 2(x^4 + 3) — 5a = 0.$$

Раскроем скобки:

$$(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2.$$

Подставим это в уравнение:

$$x^2 + 2ax + a^2 — 2(x^4 + 3) — 5a = 0.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 2ax + a^2 — 2x^4 — 6 — 5a = 0.$$

Приведем все термины в одно уравнение:

$$-2x^4 + x^2 + 2ax + a^2 — 5a — 6 = 0.$$

Шаг 3: Решение уравнения для $x$

Это уравнение является полиномиальным, и оно зависит от параметра $a$. Однако мы ищем значения $a$, при которых система будет иметь решение. Для этого нам нужно будет изучить условия, при которых это уравнение имеет решения для $x$ и $y$.

Шаг 4: Анализ дискриминанта

Чтобы найти условия на $a$, при которых у уравнения есть решение, будем использовать метод дискриминанта. Сначала для этого упростим наш исходный полином, получив его коэффициенты и проведем анализ дискриминанта для этого уравнения.

Ответ:

Решение системы уравнений при $a \in \left[ -\frac{7}{3}, 6 \right)$.