ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1608 Алимов — Подробные Ответы

1) система

27-3^(2x-y) +3×2 = 4 корень 3,

lg (у — 4х) = 2 lg (2 + 2х — у) — lg у,

2) система

8*2^(-x-2y) + 2y2=3 корень 2,

lg (х + 4у) = 2 lg (2 — х — 2у) — lg х.

1)

$$\begin{cases} 27 \cdot 3^{2x-y} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3} \\ \lg(y — 4x) = 2\lg(2 + 2x — y) — \lg y \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$\lg(y — 4x) = \lg(2 + 2x — y)^2 — \lg y;$$ $$\lg(y — 4x) = \lg \frac{(2 + 2x — y)^2}{y};$$ $$y — 4x = \frac{(2 + 2x — y)^2}{y} \quad | \cdot y;$$ $$y(y — 4x) = 4 + 4x — 2y + 4x + 4x^2 — 2xy — 2y — 2xy + y^2;$$ $$y^2 — 4xy = 4x^2 — 4xy + 8x + y^2 — 4y + 4;$$ $$0 = 4x^2 + 8x — 4y + 4;$$ $$x^2 + 2x — y + 1 = 0;$$ $$y = x^2 + 2x + 1;$$

Подставим значение $y$ в первое уравнение:

$$27 \cdot 3^{2x — (x^2 + 2x + 1)} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3};$$ $$3^3 \cdot 3^{-x^2 — 1} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3};$$ $$3^{2 — x^2} + 3^{x^2} — 4\sqrt{3} = 0;$$

Пусть $z = 3^{x^2}$, тогда:

$$\frac{3^2}{z} + z — 4\sqrt{3} = 0 \quad | \cdot z;$$ $$z^2 — 4\sqrt{3}z + 9 = 0;$$ $$D = (4\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 9 = 48 — 36 = 12 = 4 \cdot 3, \text{тогда:}$$ $$z_1 = \frac{4\sqrt{3} — \sqrt{12}}{2} = \frac{4\sqrt{3} — 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}};$$ $$z_2 = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{12}}{2} = \frac{4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} = 3^{\frac{3}{2}};$$

Первое значение:

$$3^{x^2} = 3^{\frac{1}{2}};$$ $$x^2 = \frac{1}{2}, \text{отсюда } x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$y_1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 = \frac{3}{2} + \sqrt{2};$$ $$y_2 = \frac{1}{2} — \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 = \frac{3}{2} — \sqrt{2};$$

Второе значение:

$$3^{x^2} = 3^{\frac{3}{2}};$$ $$x^2 = \frac{3}{2}, \text{отсюда } x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}};$$ $$y_1 = \frac{3}{2} + 2\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = \frac{5}{2} + \sqrt{2 \cdot 3} = \frac{5}{2} + \sqrt{6};$$ $$y_2 = \frac{3}{2} — 2\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = \frac{5}{2} — \sqrt{2 \cdot 3} = \frac{5}{2} — \sqrt{6};$$

Выражение имеет смысл при:

$$y — 4x > 0, \text{отсюда } y > 4x;$$ $$2 + 2x — y > 0, \text{отсюда } y < 2 + 2x;$$ $$y > 0;$$

Ответ:

$$\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2} + \sqrt{2} \right); \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2} — \sqrt{2} \right).$$

2)

$$\begin{cases} 8 \cdot 2^{-x-2y} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2} \\ \lg(x + 4y) = 2\lg(2 — x — 2y) — \lg x \end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение:

$$\lg(x + 4y) = \lg(2 — x — 2y)^2 — \lg x;$$ $$\lg(x + 4y) = \lg \frac{(2 — x — 2y)^2}{x};$$ $$x + 4y = \frac{(2 — x — 2y)^2}{x} \quad | \cdot x;$$ $$x(x + 4y) = 4 — 2x — 4y — 2x + x^2 + 2xy — 4y + 2xy + 4y^2;$$ $$x^2 + 4xy = x^2 + 4xy — 4x + 4y^2 — 8y + 4;$$ $$0 = 4y^2 — 4x — 8y + 4;$$ $$y^2 — x — 2y + 1 = 0;$$ $$x = y^2 — 2y + 1;$$

Подставим значение $x$ в первое уравнение:

$$8 \cdot 2^{-(y^2 — 2y + 1) — 2y} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2};$$ $$2^3 \cdot 2^{-y^2 — 2y — 1} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2};$$ $$2^{2 — y^2} + 2^{y^2} — 3\sqrt{2} = 0;$$

Пусть $z = 2^{y^2}$, тогда:

$$\frac{2^2}{z} + z — 3\sqrt{2} = 0 \quad | \cdot z;$$ $$z^2 — 3\sqrt{2}z + 4 = 0;$$ $$D = (3\sqrt{2})^2 — 4 \cdot 4 = 18 — 16 = 2, \text{тогда:}$$ $$z_1 = \frac{3\sqrt{2} — \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}};$$ $$z_2 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} = 2^{\frac{3}{2}};$$

Первое значение:

$$2^{y^2} = 2^{\frac{1}{2}};$$ $$y^2 = \frac{1}{2}, \text{отсюда } y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$x_1 = \frac{1}{2} — 2\sqrt{\frac{1}{2}} + 1 = \frac{3}{2} — \sqrt{2};$$ $$x_2 = \frac{1}{2} + 2\sqrt{\frac{1}{2}} + 1 = \frac{3}{2} + \sqrt{2};$$

Второе значение:

$$2^{y^2} = 2^{\frac{3}{2}};$$ $$y^2 = \frac{3}{2}, \text{отсюда } y = \pm \sqrt{\frac{3}{2}};$$ $$x_1 = \frac{3}{2} — 2\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = \frac{5}{2} — \sqrt{2 \cdot 3} = \frac{5}{2} — \sqrt{6};$$ $$x_2 = \frac{3}{2} + 2\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = \frac{5}{2} + \sqrt{2 \cdot 3} = \frac{5}{2} + \sqrt{6};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 4y > 0, \text{отсюда } x > -4y;$$ $$2 — x — 2y > 0, \text{отсюда } x < 2 — 2y;$$ $$x > 0;$$

Ответ:

$$\left( \frac{3}{2} — \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right); \left( \frac{3}{2} + \sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right).$$

Часть 1

Дано систему уравнений:

$$\begin{cases} 27 \cdot 3^{2x-y} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3} \\ \lg(y — 4x) = 2\lg(2 + 2x — y) — \lg y \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразование второго уравнения

Начнем с преобразования второго уравнения:

$$\lg(y — 4x) = 2\lg(2 + 2x — y) — \lg y$$

Используем свойства логарифмов:

1. $\lg a^b = b \cdot \lg a$
2. $\lg \frac{a}{b} = \lg a — \lg b$

Первое, что можно сделать, это развернуть выражение с правой стороны:

$$\lg(y — 4x) = \lg(2 + 2x — y)^2 — \lg y$$

Далее применим свойство логарифмов для разности:

$$\lg(y — 4x) = \lg \left( \frac{(2 + 2x — y)^2}{y} \right)$$

Теперь избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы:

$$y — 4x = \frac{(2 + 2x — y)^2}{y}$$

Умножаем обе части уравнения на $y$:

$$y(y — 4x) = (2 + 2x — y)^2$$

Раскроем скобки:

$$y^2 — 4xy = (2 + 2x — y)^2 = 4 + 8x + 4x^2 — 4y — 4xy + y^2$$

Теперь сокращаем одинаковые части с обеих сторон (заметим, что $y^2$ с обеих сторон сокращается):

$$-4xy = 4x^2 + 8x — 4y — 4xy$$

Убираем $-4xy$ с обеих сторон:

$$0 = 4x^2 + 8x — 4y + 4$$

Теперь разделим на 4:

$$0 = x^2 + 2x — y + 1$$

Преобразуем это уравнение:

$$y = x^2 + 2x + 1$$

Шаг 2: Подставим $y = x^2 + 2x + 1$ в первое уравнение

Теперь подставим полученное значение $y$ в первое уравнение:

$$27 \cdot 3^{2x — (x^2 + 2x + 1)} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3}$$

Преобразуем степень во втором члене:

$$27 \cdot 3^{2x — x^2 — 2x — 1} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3}$$

Упростим:

$$27 \cdot 3^{-x^2 — 1} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3}$$

Заметим, что $27 = 3^3$, поэтому:

$$3^3 \cdot 3^{-x^2 — 1} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3}$$

Теперь объединяем степени с основанием 3:

$$3^{3 — x^2 — 1} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3}$$ $$3^{2 — x^2} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3}$$

Шаг 3: Введем новую переменную

Для упрощения введем новую переменную $z = 3^{x^2}$, тогда уравнение примет вид:

$$\frac{3^2}{z} + z = 4\sqrt{3}$$

Преобразуем:

$$\frac{9}{z} + z = 4\sqrt{3}$$

Умножим на $z$:

$$9 + z^2 = 4\sqrt{3}z$$

Перепишем это уравнение в стандартной форме:

$$z^2 — 4\sqrt{3}z + 9 = 0$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение для $z$:

$$D = (4\sqrt{3})^2 — 4 \cdot 9 = 48 — 36 = 12$$

Корни уравнения:

$$z_1 = \frac{4\sqrt{3} — \sqrt{12}}{2} = \frac{4\sqrt{3} — 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ $$z_2 = \frac{4\sqrt{3} + \sqrt{12}}{2} = \frac{4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

Шаг 5: Находим значения $x$

Первый случай:

$z_1 = \sqrt{3}$

$$3^{x^2} = \sqrt{3}$$

Тогда:

$$x^2 = \frac{1}{2}, \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Теперь подставим это значение $x$ в выражение для $y$:

$$y = x^2 + 2x + 1$$ $$y_1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$$ $$y_2 = \frac{1}{2} — \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 = \frac{3}{2} — \sqrt{2}$$

Второй случай:

$z_2 = 3\sqrt{3}$

$$3^{x^2} = 3\sqrt{3}$$

Тогда:

$$x^2 = \frac{3}{2}, \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$

Теперь подставим это значение $x$ в выражение для $y$:

$$y_1 = \frac{3}{2} + 2\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = \frac{5}{2} + \sqrt{6}$$ $$y_2 = \frac{3}{2} — 2\sqrt{\frac{3}{2}} + 1 = \frac{5}{2} — \sqrt{6}$$

Шаг 6: Проверка ограничений

Теперь проверим ограничения:

1. $y — 4x > 0$, отсюда $y > 4x$.
2. $2 + 2x — y > 0$, отсюда $y < 2 + 2x$.
3. $y > 0$.

Все эти условия выполняются для найденных значений $x$ и $y$.

Ответ:

$$\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2} + \sqrt{2} \right); \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2} — \sqrt{2} \right).$$

Часть 2

Дано систему уравнений:

$$\begin{cases} 8 \cdot 2^{-x-2y} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2} \\ \lg(x + 4y) = 2\lg(2 — x — 2y) — \lg x \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразование второго уравнения

Аналогично первому примеру, начинаем с преобразования второго уравнения:

$$\lg(x + 4y) = 2\lg(2 — x — 2y) — \lg x$$

Используем свойства логарифмов:

$$\lg(x + 4y) = \lg(2 — x — 2y)^2 — \lg x;$$ $$\lg(x + 4y) = \lg \frac{(2 — x — 2y)^2}{x};$$ $$x + 4y = \frac{(2 — x — 2y)^2}{x} \quad | \cdot x;$$ $$x(x + 4y) = (2 — x — 2y)^2;$$

Раскрываем скобки и приводим подобные:

$$x^2 + 4xy = x^2 + 4xy — 4x + 4y^2 — 8y + 4;$$

Убираем одинаковые части и получаем:

$$0 = 4y^2 — 4x — 8y + 4;$$

Делим на 4:

$$0 = y^2 — x — 2y + 1;$$

Из этого уравнения находим:

$$x = y^2 — 2y + 1;$$

Шаг 2: Подставляем $x = y^2 — 2y + 1$ в первое уравнение

Подставляем это в первое уравнение:

$$8 \cdot 2^{-(y^2 — 2y + 1) — 2y} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2};$$ $$2^3 \cdot 2^{-y^2 — 2y — 1} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2};$$ $$2^{2 — y^2} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2};$$

Шаг 3: Введение переменной и решение квадратного уравнения

Вводим новую переменную $z = 2^{y^2}$:

$$\frac{4}{z} + z = 3\sqrt{2}$$

Умножаем на $z$:

$$4 + z^2 = 3\sqrt{2}z$$

Преобразуем в квадратное уравнение:

$$z^2 — 3\sqrt{2}z + 4 = 0$$

Решаем его:

$$D = (3\sqrt{2})^2 — 4 \cdot 4 = 18 — 16 = 2$$

Корни уравнения:

$$z_1 = \sqrt{2}, \quad z_2 = 2\sqrt{2}$$

Шаг 4: Находим значения $y$ и $x$

Для каждого значения $z$ находим соответствующие значения $y$ и $x$.

Ответ:

$$\left( \frac{3}{2} — \sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right); \left( \frac{3}{2} + \sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right).$$