ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1607 Алимов — Подробные Ответы

1)система

6x-2*3y=2,

6x*3y=12;

2) система

7*2x+6y=2,

3*2(x+1) — 5y=93.

1)

$$\begin{cases} 6^x — 2 \cdot 3^y = 2 \\ 6^x \cdot 3^y = 12 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6^x = 2 \cdot 3^y + 2 \\ 6^x \cdot 3^y = 12 \end{cases}$$ $$(2 \cdot 3^y + 2) \cdot 3^y = 12;$$ $$2 \cdot 3^{2y} + 2 \cdot 3^y — 12 = 0;$$

Пусть $z = 3^y$, тогда:

$$2z^2 + 2z — 12 = 0;$$ $$z^2 + z — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{тогда:}$$ $$z_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2;$$

Первое уравнение:

$$3^y = -3 \quad \text{— корней нет;}$$

Второе уравнение:

$$3^y = 2, \text{отсюда } y = \log_3 2;$$

Найдем значение $x$:

$$6^x = 2 \cdot 3^{\log_3 2} + 2;$$ $$6^x = 2 \cdot 2 + 2;$$ $$6^x = 4 + 2 = 6, \text{отсюда } x = 1;$$

Ответ: $(1; \log_3 2)$.

2)

$$\begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2 \\ 3 \cdot 2^{x+1} — 5y = 93 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2^x = \frac{2 — 6y}{7} \\ 3 \cdot 2^x \cdot 2 — 5y = 93 \end{cases}$$ $$3 \cdot \frac{2 — 6y}{7} \cdot 2 — 5y = 93 \quad | \cdot 7;$$ $$6(2 — 6y) — 7 \cdot 5y = 93 \cdot 7;$$ $$12 — 36y — 35y = 651;$$ $$-71y = 639, \text{отсюда } y = -9;$$

Найдем значение $x$:

$$2^x = \frac{2 — 6 \cdot (-9)}{7};$$ $$2^x = \frac{2 + 54}{7};$$ $$2^x = \frac{56}{7} = 8, \text{отсюда } x = 3;$$

Ответ: $(3; -9)$.

1)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 6^x — 2 \cdot 3^y = 2 \\ 6^x \cdot 3^y = 12 \end{cases}$$

Шаг 1: Выражение для $6^x$

Из первого уравнения $6^x — 2 \cdot 3^y = 2$ выразим $6^x$:

$$6^x = 2 \cdot 3^y + 2.$$

Теперь подставим это в второе уравнение $6^x \cdot 3^y = 12$:

$$(2 \cdot 3^y + 2) \cdot 3^y = 12.$$

Шаг 2: Раскроем скобки

Раскроем скобки в уравнении:

$$2 \cdot 3^y \cdot 3^y + 2 \cdot 3^y = 12.$$

Это упрощается до:

$$2 \cdot 3^{2y} + 2 \cdot 3^y = 12.$$

Шаг 3: Приведение к квадратному уравнению

Теперь можем выразить $3^y$ как $z$, где $z = 3^y$. Тогда уравнение принимает вид:

$$2z^2 + 2z = 12.$$

Шаг 4: Упрощение уравнения

Разделим обе части уравнения на 2:

$$z^2 + z = 6.$$

Теперь получаем квадратное уравнение:

$$z^2 + z — 6 = 0.$$

Шаг 5: Находим дискриминант

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.$$

Шаг 6: Находим корни уравнения

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$z_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 — 5}{2} = -3,$$ $$z_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2.$$

Шаг 7: Рассматриваем возможные значения для $z$

1. Для $z_1 = -3$, получаем $3^y = -3$. Но уравнение $3^y = -3$ не имеет решения, поскольку $3^y$ всегда положительно для любого $y$.
2. Для $z_2 = 2$, получаем $3^y = 2$. Это уравнение имеет решение:

$$y = \log_3 2.$$

Шаг 8: Находим значение $x$

Теперь, используя значение $y = \log_3 2$, подставим его в выражение для $6^x$:

$$6^x = 2 \cdot 3^{\log_3 2} + 2.$$

Поскольку $3^{\log_3 2} = 2$, уравнение превращается в:

$$6^x = 2 \cdot 2 + 2 = 4 + 2 = 6.$$

Таким образом, $x = 1$.

Ответ:

Решение первой системы: $(1; \log_3 2)$.

2)

Решим следующую систему:

$$\begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2 \\ 3 \cdot 2^{x+1} — 5y = 93 \end{cases}$$

Шаг 1: Выражаем $2^x$ из первого уравнения

Из первого уравнения $7 \cdot 2^x + 6y = 2$ выразим $2^x$:

$$7 \cdot 2^x = 2 — 6y,$$ $$2^x = \frac{2 — 6y}{7}.$$

Теперь подставим это в второе уравнение $3 \cdot 2^{x+1} — 5y = 93$. Заметим, что $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, поэтому уравнение становится:

$$3 \cdot 2 \cdot 2^x — 5y = 93.$$

Подставляем $2^x = \frac{2 — 6y}{7}$:

$$3 \cdot 2 \cdot \frac{2 — 6y}{7} — 5y = 93.$$

Упростим:

$$\frac{6(2 — 6y)}{7} — 5y = 93.$$

Теперь умножим обе части на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$$6(2 — 6y) — 7 \cdot 5y = 93 \cdot 7.$$

Упрощаем:

$$12 — 36y — 35y = 651.$$

Объединяем подобные члены:

$$12 — 71y = 651.$$

Переносим все в одну сторону:

$$-71y = 639.$$

Отсюда:

$$y = \frac{639}{-71} = -9.$$

Шаг 2: Находим значение $x$

Теперь подставим $y = -9$ в выражение для $2^x$:

$$2^x = \frac{2 — 6 \cdot (-9)}{7} = \frac{2 + 54}{7} = \frac{56}{7} = 8.$$

Таким образом, $2^x = 8$, и следовательно:

$$x = 3.$$

Ответ:

Решение второй системы: $(3; -9)$.

Итоговый ответ:

1. Для первой системы: $(1; \log_3 2)$.
2. Для второй системы: $(3; -9)$.