ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1604 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольший на интервале (-пи/6; пи/2) корень уравнения cos(5х + пи/2) + 2 sin х cos 2х = 0.

Найти наибольший на интервале $\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right)$ корень уравнения:

$$\cos \left(5x + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin x \cdot \cos 2x = 0;$$ $$-\sin 5x + \sin(x + 2x) + \sin(x — 2x) = 0;$$ $$-\sin 5x + \sin 3x — \sin x = 0;$$ $$\sin 3x — (\sin 5x + \sin x) = 0;$$ $$\sin 3x — 2 \cdot \sin \frac{5x + x}{2} \cdot \cos \frac{5x — x}{2} = 0;$$ $$\sin 3x — 2 \cdot \sin 3x \cdot \cos 2x = 0;$$ $$\sin 3x \cdot (1 — 2 \cos 2x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 3x = 0;$$ $$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$1 — 2 \cos 2x = 0;$$ $$2 \cos 2x = 1;$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Корни уравнения на искомом отрезке:

$$x_1 = -\frac{\pi}{6} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{\pi}{6};$$ $$x_3 = 0 \quad \text{и} \quad x_4 = \frac{\pi}{3};$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$.

Уравнение:

$$\cos \left(5x + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin x \cdot \cos 2x = 0$$

1. Разделим уравнение на части:

$$\cos \left(5x + \frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin x \cdot \cos 2x = 0$$

Используем тригонометрическое тождество для угла $\cos\left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = -\sin \theta$. Применяем его к первому члену:

$$\cos \left(5x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin 5x$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$-\sin 5x + 2 \sin x \cdot \cos 2x = 0$$

2. Используем формулу для произведения синуса и косинуса:

Тождество $\sin A \cdot \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A+B) + \sin(A-B) \right)$ позволяет упростить второй член. Применяем его к выражению $2 \sin x \cdot \cos 2x$:

$$2 \sin x \cdot \cos 2x = \sin(x + 2x) + \sin(x — 2x)$$ $$= \sin 3x + \sin(-x) = \sin 3x — \sin x$$

Теперь уравнение становится:

$$-\sin 5x + \sin 3x — \sin x = 0$$

3. Упростим уравнение:

Мы получили следующее уравнение:

$$-\sin 5x + \sin 3x — \sin x = 0$$

Преобразуем это в более удобную форму:

$$\sin 3x — \sin 5x — \sin x = 0$$

Теперь выразим его как разницу синусов:

$$\sin 3x — (\sin 5x + \sin x) = 0$$

4. Применим формулу суммы синусов:

Используем тождество для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применяем его к выражению $\sin 5x + \sin x$:

$$\sin 5x + \sin x = 2 \sin \left( \frac{5x + x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{5x — x}{2} \right)$$ $$= 2 \sin 3x \cdot \cos 2x$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\sin 3x — 2 \sin 3x \cdot \cos 2x = 0$$

5. Вынесем общий множитель:

Вынесем $\sin 3x$ за скобки:

$$\sin 3x \cdot (1 — 2 \cos 2x) = 0$$

У нас два возможных случая: либо $\sin 3x = 0$, либо $1 — 2 \cos 2x = 0$.

6. Решение $\sin 3x = 0$:

Для того, чтобы $\sin 3x = 0$, должно быть:

$$3x = \pi n \quad (n \in \mathbb{Z})$$

Отсюда:

$$x = \frac{\pi n}{3}$$

7. Решение $1 — 2 \cos 2x = 0$:

Для того, чтобы $1 — 2 \cos 2x = 0$, преобразуем уравнение:

$$2 \cos 2x = 1$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2}$$

Теперь найдём решение для $2x$:

$$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n$$

Значение $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Делим обе части на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Корни уравнения на интервале $\left( -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2} \right)$:

Теперь найдём все возможные значения $x$, которые лежат на заданном интервале.

1. Для $x = \frac{\pi n}{3}$:

Проверим для разных значений $n$:

• $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{3}$ — это не входит в интервал.
• $n = 0$: $x = 0$ — это входит в интервал.
• $n = 1$: $x = \frac{\pi}{3}$ — это входит в интервал.
• $n = 2$: $x = \frac{2\pi}{3}$ — это не входит в интервал.

Таким образом, корни для $\sin 3x = 0$ на интервале $\left( -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2} \right)$ это $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

2. Для $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$:

Проверим для разных значений $n$:

• $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$ — это входит в интервал.
• $n = 0$: $x = -\frac{\pi}{6}$ — это не входит в интервал, так как не включается в открытый интервал $\left( -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2} \right)$.
• $n = 1$: $x = \frac{7\pi}{6}$ — это выходит за пределы интервала.

Таким образом, корень для $1 — 2 \cos 2x = 0$ на интервале $\left( -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2} \right)$ это $x = \frac{\pi}{6}$.

Итоговые корни на интервале $\left( -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2} \right)$:

Мы нашли корни $x = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{3}$.

Наибольший корень на интервале $\left( -\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2} \right)$ — это:

$$x = \frac{\pi}{3}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{3}$$