ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1603 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения sin4x+sin4(x+пи/4) = sin2 25пи/6, удовлетворяющие неравенству lg(x- (корень (2x+24)) > 0.

Найти все корни уравнения:

$$\sin^4 x + \sin^4 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin^2 \frac{25\pi}{6};$$ $$\sin^4 x + \left( \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right)^2 = \sin^2 \left( 4\pi + \frac{\pi}{6} \right);$$ $$\sin^4 x + \left( \frac{1 — \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right)}{2} \right)^2 = \sin^2 \frac{\pi}{6};$$ $$\sin^4 x + \left( \frac{1 + \sin 2x}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2;$$ $$4 \left( \sin^2 x \right)^2 + 1 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x = 1;$$ $$4 \cdot \left( \frac{1 — \cos 2x}{2} \right)^2 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x = 0;$$ $$\left( 1 — 2 \cos 2x + \cos^2 2x \right) + 2 \sin 2x + \sin^2 2x = 0;$$ $$1 + \left( \cos^2 2x + \sin^2 2x \right) + 2 \left( \sin 2x — \cos 2x \right) = 0;$$ $$2 + 2 \left( \sin 2x — \cos 2x \right) = 0;$$ $$\sin 2x — \cos 2x = -1 \quad \text{и делим на} \quad \sqrt{2};$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin 2x — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$-\cos \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\frac{\pi}{4} + 2x = \pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Первое значение:

$$2x_1 = -\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе значение:

$$2x_2 = +\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x_2 = \pi n;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\lg \left( x — \sqrt{2}x + 24 \right) > 0;$$ $$\lg \left( x — \sqrt{2}x + 24 \right) > \lg 10^0;$$ $$x — \sqrt{2}x + 24 > 1;$$ $$x — 1 > \sqrt{2}x + 24;$$ $$x^2 — 2x + 1 > 2x + 24;$$ $$x^2 — 4x — 23 > 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 23 = 16 + 92 = 108 = 4 \cdot 27, \text{тогда};$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{108}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{27}}{2} = 2 \pm \sqrt{27};$$ $$(x — (2 — \sqrt{27}))(x — (2 + \sqrt{27})) > 0;$$ $$x < 2 — \sqrt{27} \quad \text{и} \quad x > 2 + \sqrt{27};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — \sqrt{2}x + 24 > 0;$$ $$x > \sqrt{2}x + 24;$$ $$x^2 > 2x + 24;$$ $$x^2 — 2x — 24 > 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100, \text{тогда};$$ $$x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6;$$ $$(x + 4)(x — 6) > 0;$$ $$x < -4 \quad \text{и} \quad x > 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x + 24 > 0;$$ $$x + 12 > 0;$$ $$x > -12;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 1 > 0, \text{отсюда} \quad x > 1;$$

Итого имеем:

$$x > 6;$$

Ответ:

$$x = \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad n > 2.$$

1. Уравнение:

$$\sin^4 x + \sin^4 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sin^2 \frac{25\pi}{6}$$

Решение:

Прежде чем решать это уравнение, упростим правую часть:

$$\sin^2 \frac{25\pi}{6}$$

Заметили, что угол $\frac{25\pi}{6}$ больше, чем $2\pi$. Для упрощения его нужно уменьшить, вычитая $2\pi$ несколько раз:

$$\frac{25\pi}{6} — 2\pi = \frac{25\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$$

Затем снова вычитаем $2\pi$:

$$\frac{13\pi}{6} — 2\pi = \frac{13\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$$

Итак, $\sin \frac{25\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Теперь уравнение принимает вид:

$$\sin^4 x + \sin^4 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Переходим ко второму уравнению.

2. Уравнение:

$$\sin^4 x + \left( \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right)^2 = \sin^2 \left( 4\pi + \frac{\pi}{6} \right)$$

Решение:

Сначала упростим правую часть:

$$4\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{25\pi}{6}$$

Поскольку $\frac{25\pi}{6}$ эквивалентно $\frac{\pi}{6}$, то:

$$\sin \frac{25\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Теперь уравнение выглядит так:

$$\sin^4 x + \left( \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Переходим к следующему уравнению.

3. Уравнение:

$$\sin^4 x + \left( \frac{1 — \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right)}{2} \right)^2 = \sin^2 \frac{\pi}{6}$$

Решение:

Сначала упростим правую часть:

$$\sin^2 \frac{\pi}{6} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Теперь уравнение принимает вид:

$$\sin^4 x + \left( \frac{1 — \cos \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right)}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Далее переходим к следующему уравнению.

4. Уравнение:

$$\sin^4 x + \left( \frac{1 + \sin 2x}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2$$

Решение:

Упростим правую часть:

$$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Теперь уравнение становится:

$$\sin^4 x + \left( \frac{1 + \sin 2x}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Переходим к следующему уравнению.

5. Уравнение:

$$4 \left( \sin^2 x \right)^2 + 1 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x = 1$$

Решение:

Упростим уравнение, сначала переносим 1 на правую сторону:

$$4 \left( \sin^2 x \right)^2 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x = 0$$

Переходим к следующему уравнению.

6. Уравнение:

$$4 \cdot \left( \frac{1 — \cos 2x}{2} \right)^2 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x = 0$$

Решение:

Упростим первую часть уравнения:

$$\left( \frac{1 — \cos 2x}{2} \right)^2 = \frac{(1 — \cos 2x)^2}{4}$$

Теперь уравнение принимает вид:

$$\frac{4(1 — \cos 2x)^2}{4} + 2 \sin 2x + \sin^2 2x = 0$$

Сократим на 4:

$$(1 — \cos 2x)^2 + 2 \sin 2x + \sin^2 2x = 0$$

Переходим к следующему уравнению.

7. Уравнение:

$$\left( 1 — 2 \cos 2x + \cos^2 2x \right) + 2 \sin 2x + \sin^2 2x = 0$$

Решение:

Это уравнение можно оставить в таком виде, переходя к следующему.

8. Уравнение:

$$1 + \left( \cos^2 2x + \sin^2 2x \right) + 2 \left( \sin 2x — \cos 2x \right) = 0$$

Решение:

Используем тождество $\cos^2 2x + \sin^2 2x = 1$, и уравнение становится:

$$1 + 1 + 2 \left( \sin 2x — \cos 2x \right) = 0$$ $$2 + 2 \left( \sin 2x — \cos 2x \right) = 0$$

Переходим к следующему уравнению.

9. Уравнение:

$$2 + 2 \left( \sin 2x — \cos 2x \right) = 0$$

Решение:

Разделим обе стороны на 2:

$$1 + \left( \sin 2x — \cos 2x \right) = 0$$ $$\sin 2x — \cos 2x = -1$$

Теперь разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Используем тождество:

$$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin 2x — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Это упрощается до:

$$-\cos \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Знак минус можно убрать, и получаем:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Решением этого уравнения является:

$$\frac{\pi}{4} + 2x = \pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Переходим к следующему шагу.

10. Общее решение:

Из уравнения $\frac{\pi}{4} + 2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ получаем два случая:

1. $2x = -\frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, отсюда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
2. $2x = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n$, отсюда $x = \pi n$

Ответ:

$$x = \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad n \in \mathbb{Z}$$