ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1602 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения cos х + (1 + cos х) tg2 х — 1 = 0, удовлетворяющие неравенству tg х > 0.

Найти все корни уравнения:

$$\cos x + (1 + \cos x) \cdot \operatorname{tg}^2 x — 1 = 0;$$ $$\cos x + (1 + \cos x) \left( \frac{1 — \cos^2 x}{\cos^2 x} \right) — 1 = 0;$$ $$\frac{\cos^3 x}{\cos^2 x} + \frac{1 — \cos^2 x + \cos x — \cos^3 x}{\cos^2 x} — \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0;$$ $$\frac{-2 \cos^2 x + \cos x + 1}{\cos^2 x} = 0;$$ $$2 \cos^2 x — \cos x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 — y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} — \pi + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + (2n — 1)\pi;$$ $$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + (2n + 1)\pi;$$

Второе уравнение:

$$\cos x = 1;$$ $$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$$

Уравнение имеет решения при:

$$\operatorname{tg} x > 0;$$ $$\operatorname{arctg} 0 + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{3} + (2n + 1)\pi}.$$

Рассмотрим уравнение:

$$\cos x + (1 + \cos x) \cdot \operatorname{tg}^2 x — 1 = 0$$

Для удобства преобразуем его. Сначала заменим $\operatorname{tg}^2 x$ на $\frac{1 — \cos^2 x}{\cos^2 x}$, используя тождество $\operatorname{tg}^2 x = \frac{1 — \cos^2 x}{\cos^2 x}$. Это дает:

$$\cos x + (1 + \cos x) \left( \frac{1 — \cos^2 x}{\cos^2 x} \right) — 1 = 0$$

Теперь упростим это выражение:

$$\cos x + \frac{(1 + \cos x)(1 — \cos^2 x)}{\cos^2 x} — 1 = 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(1 + \cos x)(1 — \cos^2 x) = 1 — \cos^2 x + \cos x — \cos^3 x$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$\cos x + \frac{1 — \cos^2 x + \cos x — \cos^3 x}{\cos^2 x} — 1 = 0$$

Приведем это к общему знаменателю:

$$\frac{\cos^3 x}{\cos^2 x} + \frac{1 — \cos^2 x + \cos x — \cos^3 x}{\cos^2 x} — \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$\frac{\cos^3 x + 1 — \cos^2 x + \cos x — \cos^3 x — \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$ $$\frac{-2 \cos^2 x + \cos x + 1}{\cos^2 x} = 0$$

Теперь у нас есть уравнение:

$$-2 \cos^2 x + \cos x + 1 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$, которое можно решить по стандартной формуле для квадратных уравнений:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Здесь $a = -2$, $b = 1$, $c = 1$. Находим дискриминант $D$:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 — 3}{2 \cdot (-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$$ $$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2 \cdot (-2)} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$$

Таким образом, мы получили два корня для $y = \cos x$:

$$\cos x = 1 \quad \text{и} \quad \cos x = -\frac{1}{2}$$

Теперь рассмотрим оба случая.

1. $\cos x = 1$

Если $\cos x = 1$, то $x = \arccos(1) = 0 + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом, решение для этого случая:

$$x = 2\pi n$$

2. $\cos x = -\frac{1}{2}$

Если $\cos x = -\frac{1}{2}$, то $x = \pm \left( \pi — \arccos \left( \frac{1}{2} \right) \right) + 2\pi n$.

Знаем, что $\arccos \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

То есть, решение для этого случая:

$$x_1 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + (2n — 1)\pi$$ $$x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + (2n + 1)\pi$$

Условие для тангенса

Теперь необходимо учесть условие для тангенса. У нас есть $\operatorname{tg} x > 0$, что означает, что углы $x$ должны быть в пределах интервала $\left( \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$.

• Для решения $\cos x = 1$, $x = 2\pi n$, то тангенс равен нулю, что не подходит по условию $\operatorname{tg} x > 0$.
• Для решения $\cos x = -\frac{1}{2}$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, проверяем, что эти значения удовлетворяют условию $\operatorname{tg} x > 0$:
  • Для $x_1 = \frac{\pi}{3} + (2n — 1)\pi$, тангенс положителен.
  • Для $x_2 = -\frac{\pi}{3} + (2n + 1)\pi$, тангенс также положителен.

Таким образом, конечный ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{3} + (2n + 1)\pi}$$