ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 160 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 3 степени (x-2) =2;
2. корень 3 степени (2x+7) = корень 3 степени (3(x-1));
3. корень 4 степени (25×2-144) =x;
4. x2= корень (19×2-34).

1)

$$\sqrt[3]{x — 2} = 2;$$

$$x — 2 = 2^3;$$

$$x — 2 = 8;$$

$$x = 8 + 2 = 10;$$

Ответ:

$x = 10$

.

2)

$$\sqrt[3]{2x + 7} = \sqrt[3]{3(x — 1)};$$

$$2x + 7 = 3(x — 1);$$

$$2x + 7 = 3x — 3;$$

$$2x — 3x = -3 — 7;$$

$$-x = -10;$$

$$x = 10;$$

Ответ:

$x = 10$

.

3)

$$\sqrt[4]{25x^2 — 144} = x;$$

$$25x^2 — 144 = x^4;$$

$$x^4 — 25x^2 + 144 = 0;$$

Пусть

$y = x^2$

, тогда:

$$y^2 — 25y + 144 = 0;$$

$$D = 25^2 — 4 \cdot 144 = 625 — 576 = 49, \text{ тогда:}$$

$$y_1 = \frac{25 — 7}{2} = 9 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{25 + 7}{2} = 16;$$

$$x_1 = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{16} = \pm 4;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt[4]{25 \cdot (\pm 3)^2 — 144} = \sqrt[4]{225 — 144} = \sqrt[4]{81} = 3;$$

$$\sqrt[4]{25 \cdot (\pm 4)^2 — 144} = \sqrt[4]{400 — 144} = \sqrt[4]{256} = 4;$$

Ответ:

$x_1 = 3; \, x_2 = 4$

.

4)

$$x^2 = \sqrt{19x^2 — 34};$$

$$x^4 = 19x^2 — 34;$$

$$x^4 — 19x^2 + 34 = 0;$$

Пусть

$y = x^2$

, тогда:

$$y^2 — 19y + 34 = 0;$$

$$D = 19^2 — 4 \cdot 34 = 361 — 136 = 225, \text{ тогда:}$$

$$y_1 = \frac{19 — 15}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{19 + 15}{2} = 17;$$

$$x_1 = \pm \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \pm \sqrt{17};$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{19 \cdot (\pm \sqrt{2})^2 — 34} = \sqrt{38 — 34} = \sqrt{4} = 2 = (\pm \sqrt{2})^2;$$

$$\sqrt{19 \cdot (\pm \sqrt{17})^2 — 34} = \sqrt{323 — 34} = \sqrt{289} = 17 = (\pm \sqrt{17})^2;$$

Ответ:

$x_1 = \pm \sqrt{2}; \, x_2 = \pm \sqrt{17}$

.

1)

Решим уравнение:

$$\sqrt[3]{x — 2} = 2.$$

Для начала избавимся от кубического корня. Возведем обе части уравнения в третью степень:

$$\left( \sqrt[3]{x — 2} \right)^3 = 2^3.$$

Получим:

$$x — 2 = 8.$$

Теперь, чтобы найти

$x$

, добавим 2 к обеим частям уравнения:

$$x = 8 + 2 = 10.$$

Ответ:

$x = 10$

.

2)

Решим уравнение:

$$\sqrt[3]{2x + 7} = \sqrt[3]{3(x — 1)}.$$

Так как у нас кубические корни с одинаковыми индексами, можно приравнять выражения под корнями:

$$2x + 7 = 3(x — 1).$$

Раскроем скобки на правой части:

$$2x + 7 = 3x — 3.$$

Теперь, для упрощения, перенесем все выражения с

$x$

на одну сторону, а числа на другую:

$$2x — 3x = -3 — 7,$$

$$-x = -10.$$

Умножим обе части уравнения на -1:

$$x = 10.$$

Ответ:

$x = 10$

.

3)

Решим уравнение:

$$\sqrt[4]{25x^2 — 144} = x.$$

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от четвертного корня:

$$25x^2 — 144 = x^4.$$

Теперь преобразуем это уравнение в стандартный вид:

$$x^4 — 25x^2 + 144 = 0.$$

Для упрощения решения сделаем замену переменной. Пусть

$y = x^2$

, тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 25y + 144 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для начала вычислим дискриминант:

$$D = (-25)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 — 576 = 49.$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

$$y_1 = \frac{25 — 7}{2} = 9, \quad y_2 = \frac{25 + 7}{2} = 16.$$

Теперь вернемся к переменной

$x$

. Поскольку

$y = x^2$

, то:

$$x_1 = \pm \sqrt{9} = \pm 3, \quad x_2 = \pm \sqrt{16} = \pm 4.$$

Теперь проверим полученные значения

$x_1$

и

$x_2$

в исходном уравнении:

• Для
  $x = 3$ 

  :

$$\sqrt[4]{25 \cdot 3^2 — 144} = \sqrt[4]{225 — 144} = \sqrt[4]{81} = 3.$$

• Для
  $x = 4$ 

  :

$$\sqrt[4]{25 \cdot 4^2 — 144} = \sqrt[4]{400 — 144} = \sqrt[4]{256} = 4.$$

Ответ:

$x_1 = 3; \, x_2 = 4$

.

4)

Решим уравнение:

$$x^2 = \sqrt{19x^2 — 34}.$$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$$(x^2)^2 = \left( \sqrt{19x^2 — 34} \right)^2,$$

$$x^4 = 19x^2 — 34.$$

Переносим все термины в одну сторону:

$$x^4 — 19x^2 + 34 = 0.$$

Сделаем замену переменной

$y = x^2$

. Получим:

$$y^2 — 19y + 34 = 0.$$

Вычислим дискриминант для этого уравнения:

$$D = (-19)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 34 = 361 — 136 = 225.$$

Так как дискриминант положительный, находим два корня:

$$y_1 = \frac{19 — 15}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{19 + 15}{2} = 17.$$

Теперь вернемся к переменной

$x$

, где

$y = x^2$

. Получаем два уравнения:

$$x_1 = \pm \sqrt{2}, \quad x_2 = \pm \sqrt{17}.$$

Проверим оба значения в исходном уравнении:

• Для
  $x = \pm \sqrt{2}$ 

  :

$$\sqrt{19 \cdot (\pm \sqrt{2})^2 — 34} = \sqrt{38 — 34} = \sqrt{4} = 2.$$

• Для
  $x = \pm \sqrt{17}$ 

  :

$$\sqrt{19 \cdot (\pm \sqrt{17})^2 — 34} = \sqrt{323 — 34} = \sqrt{289} = 17.$$

Ответ:

$x_1 = \pm \sqrt{2}; \, x_2 = \pm \sqrt{17}$

.