ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 16 Алимов — Подробные Ответы

1. b7=12, b11=3/4;
2. b7=-30, b6=15;
3. b5=9, b10=-1/27;

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы;

$b_1 = 40$ и $b_2 = -20$;

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{40} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2};$$

$$|q| < 1 \text{ — прогрессия бесконечно убывает;}$$

Ответ: является.

$b_7 = 12$ и $b_{11} = \frac{3}{4}$;

$$\frac{b_{11}}{b_7} = q^4;$$

$$q = \sqrt[4]{\frac{3}{4} \div 12} = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2};$$

$$|q| < 1 \text{ — прогрессия бесконечно убывает;}$$

Ответ: является.

$b_7 = -30$ и $b_6 = 15$;

$$q = \frac{b_7}{b_6} = \frac{-30}{15} = -2;$$

$$|q| > 1 \text{ — прогрессия не убывает;}$$

Ответ: не является.

$b_5 = 9$ и $b_{10} = -\frac{1}{27}$;

$$q = \sqrt[5]{\frac{-\frac{1}{27}}{9}} = \sqrt[5]{\frac{-1}{243}} = -\frac{1}{3};$$

$$|q| < 1 \text{ — прогрессия бесконечно убывает;}$$

Ответ: является.

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если её знаменатель $q$ по модулю меньше единицы, то есть:

$$|q| < 1$$

Где знаменатель $q$ определяется по формуле:

$$q = \frac{b_n}{b_{n-1}}$$

или

$$q^k = \frac{b_m}{b_n} \quad \Rightarrow \quad q = \sqrt[k]{\frac{b_m}{b_n}}$$

Рассмотрим каждый случай подробно.

1) Дано: $b_1 = 40$, $b_2 = -20$

Шаг 1. Вычисляем знаменатель прогрессии

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 2. Проверяем условие убывания

$$|q| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} < 1$$

Вывод: Прогрессия является бесконечно убывающей. ✅

2) Дано: $b_7 = 12$, $b_{11} = \frac{3}{4}$

Шаг 1. Используем формулу
Так как между 7-м и 11-м членом разница 4 шага, знаменатель $q$ в четвёртой степени:

$$q^4 = \frac{b_{11}}{b_7} = \frac{\frac{3}{4}}{12}$$

Преобразуем:

$$q^4 = \frac{3}{4} \times \frac{1}{12} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$$

Шаг 2. Извлекаем корень 4-й степени

$$q = \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3. Проверяем условие убывания

$$|q| = \left| \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} < 1$$

Вывод: Прогрессия является бесконечно убывающей. ✅

3) Дано: $b_7 = -30$, $b_6 = 15$

Шаг 1. Вычисляем знаменатель

$$q = \frac{b_7}{b_6} = \frac{-30}{15} = -2$$

Шаг 2. Проверяем условие убывания

$$|q| = | -2 | = 2 > 1$$

Вывод: Прогрессия не является бесконечно убывающей. ❌

4) Дано: $b_5 = 9$, $b_{10} = -\frac{1}{27}$

Шаг 1. Используем формулу
Разница между 5-м и 10-м членами — 5 шагов, значит:

$$q^5 = \frac{b_{10}}{b_5} = \frac{-\frac{1}{27}}{9}$$

Преобразуем:

$$q^5 = -\frac{1}{27} \times \frac{1}{9} = -\frac{1}{243}$$

Шаг 2. Извлекаем корень 5-й степени

$$q = \sqrt[5]{-\frac{1}{243}} = -\frac{1}{3}$$

Шаг 3. Проверяем условие убывания

$$|q| = \left| -\frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3} < 1$$

Вывод: Прогрессия является бесконечно убывающей. ✅