ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 16 Алимов — Подробные Ответы

1. b7=12, b11=3/4;
2. b7=-30, b6=15;
3. b5=9, b10=-1/27;

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы;

${\mathrm{1).\; b}}_1=40$ и $b_2=-20$;

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-20}{40}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2};$$

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1\text{ — прогрессия бесконечно убывает;}$$

Ответ: является.

${\mathrm{2).\; b}}_7=12$ и $b_{11}=\frac{3}{4}$;

$$\frac{b_{11}}{b_7}=q^4;$$

$$q=\sqrt[4]{\frac{3}{4}÷12}=\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2};$$

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1\text{ — прогрессия бесконечно убывает;}$$

Ответ: является.

${\mathrm{3).\; b}}_7=-30$ и $b_6=15$;

$$q=\frac{b_7}{b_6}=\frac{-30}{15}=-2;$$

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }>1\text{ — прогрессия не убывает;}$$

Ответ: не является.

${\mathrm{4).\; b}}_5=9$ и $b_{10}=-\frac{1}{27}$;

$$q=\sqrt[5]{\frac{-\frac{1}{27}}{9}}=\sqrt[5]{\frac{-1}{243}}=-\frac{1}{3};$$

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1\text{ — прогрессия бесконечно убывает;}$$

Ответ: является.

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если её знаменатель $q$ по модулю меньше единицы, то есть:

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$$

Где знаменатель $q$ определяется по формуле:

$$q=\frac{b_n}{b_{n-1}}$$

или

$$q^k=\frac{b_m}{b_n}\Rightarrow q=\sqrt[k]{\frac{b_m}{b_n}}$$

Рассмотрим каждый случай подробно.

1) Дано: $b_1=40$, $b_2=-20$

Шаг 1. Вычисляем знаменатель прогрессии

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-20}{40}=-\frac{1}{2}$$

Шаг 2. Проверяем условие убывания

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\mid -\frac{1}{2}\mid =\frac{1}{2}<1$$

Вывод: Прогрессия является бесконечно убывающей. ✅

2) Дано: $b_7=12$, $b_{11}=\frac{3}{4}$

Шаг 1. Используем формулу
Так как между 7-м и 11-м членом разница 4 шага, знаменатель $q$ в четвёртой степени:

$$q^4=\frac{b_{11}}{b_7}=\frac{\frac{3}{4}}{12}$$

Преобразуем:

$$q^4=\frac{3}{4}\times \frac{1}{12}=\frac{3}{48}=\frac{1}{16}$$

Шаг 2. Извлекаем корень 4-й степени

$$q=\sqrt[4]{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}$$

Шаг 3. Проверяем условие убывания

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\mid \frac{1}{2}\mid =\frac{1}{2}<1$$

Вывод: Прогрессия является бесконечно убывающей. ✅

3) Дано: $b_7=-30$, $b_6=15$

Шаг 1. Вычисляем знаменатель

$$q=\frac{b_7}{b_6}=\frac{-30}{15}=-2$$

Шаг 2. Проверяем условие убывания

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }=2>1$$

Вывод: Прогрессия не является бесконечно убывающей. ❌

4) Дано: $b_5=9$, $b_{10}=-\frac{1}{27}$

Шаг 1. Используем формулу
Разница между 5-м и 10-м членами — 5 шагов, значит:

$$q^5=\frac{b_{10}}{b_5}=\frac{-\frac{1}{27}}{9}$$

Преобразуем:

$$q^5=-\frac{1}{27}\times \frac{1}{9}=-\frac{1}{243}$$

Шаг 2. Извлекаем корень 5-й степени

$$q=\sqrt[5]{-\frac{1}{243}}=-\frac{1}{3}$$

Шаг 3. Проверяем условие убывания

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\mid -\frac{1}{3}\mid =\frac{1}{3}<1$$

Вывод: Прогрессия является бесконечно убывающей. ✅