ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1599 Алимов — Подробные Ответы

1. cos x + cos 2x + cos 3x = 0;
2. cos3 x — 3 cos2 x + cos x + sin 2x = 2cos(x/2 + пи/4)sin(3×2 — пи/4);
3. sin2 x + cos2 3x = 1;
4. ctg x + sin 2x = ctg 3x.

1)

$$\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0;$$ $$\cos 2x + 2 \cdot \cos \frac{x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} = 0;$$ $$\cos 2x + 2 \cdot \cos 2x \cdot \cos x = 0;$$ $$\cos 2x \cdot (1 + 2 \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$1 + 2 \cos x = 0;$$ $$2 \cos x = -1;$$ $$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.}$$

2)

$$\cos^3 x — 3 \cos^2 x + \cos x + \sin 2x = 2 \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right);$$ $$\cos^3 x — 3 \cos^2 x + \cos x + \sin 2x = \sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) + \sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right);$$ $$\cos^3 x — 3 \cos^2 x + \cos x + \sin 2x = \sin 2x + \sin \left( x — \frac{\pi}{2} \right);$$ $$\cos^3 x — 3 \cos^2 x + \cos x = -\cos x;$$ $$\cos x \cdot (\cos^2 x — 3 \cos x + 2) = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$y^2 — 3y + 2 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда: }$$ $$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$$

Первое значение:

$$\cos x = 1;$$ $$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$$

Второе значение:

$$\cos x = 2 \quad \text{(корней нет)};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \; 2\pi n.}$$

3)

$$\sin^2 x + \cos^2 3x = 1;$$ $$1 — \cos^2 x + \cos^2 3x = 1;$$ $$\cos^2 3x — \cos^2 x = 0;$$ $$(\cos 3x — \cos x)(\cos 3x + \cos x) = 0;$$ $$-2 \cdot \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \sin \frac{3x — x}{2} \cdot 2 \cdot \cos \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} = 0;$$ $$2 \cdot \sin 2x \cdot \sin x \cdot 2 \cdot \cos 2x \cdot \cos x = 0;$$ $$\sin 4x \cdot \sin 2x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 4x = 0;$$ $$4x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{4};$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi n}{4}}.$$

4)

$$\cot x + \sin 2x = \cot 3x;$$ $$\cot 3x — \cot x = \sin 2x;$$ $$\frac{\cos 3x}{\sin 3x} — \frac{\cos x}{\sin x} = \sin 2x;$$ $$\frac{\cos 3x \cdot \sin x — \cos x \cdot \sin 3x}{\sin 3x \cdot \sin x} = \sin 2x;$$ $$\frac{\sin(x — 3x)}{\sin x \cdot \sin 3x} = \sin 2x;$$ $$-\frac{\sin 2x + \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x}{\sin 3x \cdot \sin x} = 0;$$ $$\frac{\sin 2x \cdot (1 + \sin x \cdot \sin 3x)}{\sin 3x \cdot \sin x} = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$1 + \sin x \cdot \sin 3x = 0;$$ $$\sin x \cdot \sin 3x = -1;$$ $$\frac{1}{2} \left( \cos(3x — x) — \cos(3x + x) \right) = -1;$$ $$\cos 2x — \cos 4x = -2;$$ $$\cos 2x — (\cos^2 2x — \sin^2 2x) = -2(\cos^2 2x + \sin^2 2x);$$ $$\cos^2 2x + 3 \sin^2 2x + \cos 2x = 0;$$ $$\cos^2 2x + 3(1 — \cos^2 2x) + \cos 2x = 0;$$ $$-2 \cos^2 2x + \cos 2x = -3;$$ $$\cos^2 2x — \frac{1}{2} \cos 2x = \frac{3}{2};$$ $$\cos^2 2x — \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{16} = \frac{25}{16};$$ $$\left( \cos 2x — \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{25}{16};$$ $$\cos 2x — \frac{1}{4} = \pm \frac{5}{4};$$

Первое значение:

$$\cos 2x = -\frac{5}{4} + \frac{1}{4} = -1;$$ $$2x = \arccos(-1) + 2\pi n = -\pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot (-\pi + 2\pi n) = -\frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе значение:

$$\cos 2x = +\frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \quad \text{(корней нет)};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin 3x \neq 0;$$ $$3x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi n}{3};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n}.$$

1) Уравнение:

$$\cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0.$$

Шаг 1: Преобразуем исходное уравнение

Начнем с преобразования исходного уравнения, используя формулы для суммы косинусов. Воспользуемся формулой для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A — B}{2} \right).$$

Применим её к частям $\cos x + \cos 3x$:

$$\cos x + \cos 3x = 2 \cos \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x — x}{2} \right) = 2 \cos 2x \cos x.$$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$$2 \cos 2x \cos x + \cos 2x = 0.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Вынесем общий множитель $\cos 2x$:

$$\cos 2x (1 + 2 \cos x) = 0.$$

Теперь у нас два возможных уравнения:

1. $\cos 2x = 0$
2. $1 + 2 \cos x = 0$

Шаг 3: Решаем первое уравнение $\cos 2x = 0$

Для решения уравнения $\cos 2x = 0$, используем, что $\cos \theta = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Следовательно:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Делим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 4: Решаем второе уравнение $1 + 2 \cos x = 0$

Решаем уравнение:

$$1 + 2 \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 \cos x = -1 \quad \Rightarrow \quad \cos x = -\frac{1}{2}.$$

Теперь найдем $x$, используя, что $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ при $\theta = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Следовательно:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 5: Проверка условий

Проверим условия, при которых логарифм имеет смысл:

• $x > 0$ — основание логарифма должно быть положительным.
• $x \neq 1$ — основание логарифма не может быть равно 1.
• $5 — x > 0$, то есть $x < 5$.

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}; \; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.}$$

2) Уравнение:

$$\cos^3 x — 3 \cos^2 x + \cos x + \sin 2x = 2 \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} \right).$$

Шаг 1: Развернем правую часть уравнения

Для упрощения правой части уравнения, используем формулу для произведения синуса и косинуса:

$$\sin A \cos B = \frac{1}{2} \left( \sin(A + B) + \sin(A — B) \right).$$

Подставим это в уравнение:

$$\cos^3 x — 3 \cos^2 x + \cos x + \sin 2x = \sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) + \sin \left( \frac{3x}{2} — \frac{\pi}{4} — \frac{x}{2} — \frac{\pi}{4} \right).$$

Применяя упрощения:

$$\cos^3 x — 3 \cos^2 x + \cos x + \sin 2x = \sin 2x + \sin \left( x — \frac{\pi}{2} \right).$$

Шаг 2: Упростим уравнение

Теперь у нас получается:

$$\cos^3 x — 3 \cos^2 x + \cos x = -\cos x.$$

Переносим все на одну сторону:

$$\cos x \cdot (\cos^2 x — 3 \cos x + 2) = 0.$$

Шаг 3: Пусть $y = \cos x$

Теперь решим уравнение для $y$:

$$y^2 — 3y + 2 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.$$

Шаг 4: Решим для $y_1$

Если $\cos x = 1$, то:

$$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n.$$

Шаг 5: Решим для $y_2$

Если $\cos x = 2$, то это невозможно, так как $\cos x$ не может быть больше 1.

Ответ:

$$\boxed{2\pi n.}$$

3) Уравнение:

$$\sin^2 x + \cos^2 3x = 1.$$

Шаг 1: Упростим уравнение

Используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:

$$1 — \cos^2 x + \cos^2 3x = 1.$$

Упрощаем:

$$\cos^2 3x — \cos^2 x = 0.$$

Шаг 2: Применяем разность квадратов

Разность квадратов $a^2 — b^2 = (a — b)(a + b)$, получаем:

$$(\cos 3x — \cos x)(\cos 3x + \cos x) = 0.$$

Шаг 3: Решим два уравнения

$\cos 3x — \cos x = 0$, что означает $\cos 3x = \cos x$. Это возможно, когда $3x = x + 2\pi n$, или $3x = -x + 2\pi n$. Получаем:

$$2x = 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \pi n.$$

$\cos 3x + \cos x = 0$, что дает $\cos 3x = -\cos x$. Это возможно, когда $3x = \pi — x + 2\pi n$, или $3x = -(\pi — x) + 2\pi n$. Получаем:

$$4x = \pi + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 4: Ответ

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{4}}.$$

4) Уравнение:

$$\cot x + \sin 2x = \cot 3x.$$

Шаг 1: Перепишем уравнение

Перепишем уравнение как:

$$\cot 3x — \cot x = \sin 2x.$$

Используем формулу для разности котангенсов:

$$\cot A — \cot B = \frac{\sin(B — A)}{\sin A \cdot \sin B}.$$

Получаем:

$$\frac{\sin(x — 3x)}{\sin x \cdot \sin 3x} = \sin 2x.$$

Шаг 2: Упростим выражение

Теперь упрощаем выражение:

$$-\frac{\sin 2x + \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x}{\sin 3x \cdot \sin x} = 0.$$

Шаг 3: Найдем корни

$\sin 2x = 0$, то есть $2x = \pi n$, следовательно:

$$x = \frac{\pi n}{2}.$$

$1 + \sin x \cdot \sin 3x = 0$, что приводит к следующему решению:

$$\sin x \cdot \sin 3x = -1.$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n}.$$