ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1597 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (1597—1601).

1. 9 * 4^1/x + 5 * б^1/x = 4 * 9^1/x;
2. log2 (х2 — 3) — log2 (6x — 10) + 1 = 0;
3. 2 log2 X-2 log2 1/корень 2 = 3 корень log2 X;
4. logx (2×2 — Зх — 4) = 2.

1)

$$9 \cdot 4^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 9^{\frac{1}{x}};$$ $$3^2 \cdot 2^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot 2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = 2^2 \cdot 3^{\frac{2}{x}};$$ $$3^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{x}} = 2^2;$$ $$9 \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{2}{x}} + 5 \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{x}} — 4 = 0;$$

Пусть $y = \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{x}}$, тогда:

$$9y^2 + 5y — 4 = 0;$$ $$D = 5^2 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 25 + 144 = 169;$$ $$y_1 = \frac{-5 — 13}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1;$$ $$y_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9};$$

Первое значение:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{x}} = -1 \quad \text{(корней нет)};$$

Второе значение:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{x}} = \frac{4}{9};$$ $$\left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{x}} = \left( \frac{2}{3} \right)^2;$$ $$\frac{1}{x} = 2, \quad \text{отсюда } x = \frac{1}{2};$$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2)

$$\log_2 (x^2 — 3) — \log_2 (6x — 10) + 1 = 0;$$ $$\log_2 \frac{x^2 — 3}{6x — 10} = \log_2 2^{-1};$$ $$\frac{x^2 — 3}{6x — 10} = \frac{1}{2};$$ $$2(x^2 — 3) = 6x — 10;$$ $$2x^2 — 6 — 6x + 10 = 0;$$ $$2x^2 — 6x + 4 = 0;$$ $$x^2 — 3x + 2 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;$$ $$x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 3 > 0;$$ $$x^2 > 3;$$ $$x < -\sqrt{3} \quad \text{и} \quad x > \sqrt{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$6x — 10 > 0;$$ $$3x — 5 > 0;$$ $$3x > 5, \quad \text{отсюда } x > \frac{5}{3};$$

Ответ: $x = 2$.

3)

$$2 \log_2 x — 2 \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{\log_2 x};$$ $$2 \log_2 x — \log_2 \frac{1}{2} = 3 \sqrt{\log_2 x};$$ $$2 \log_2 x — (-1) = 3 \sqrt{\log_2 x};$$ $$2 \log_2 x — 3 \sqrt{\log_2 x} + 1 = 0;$$

Пусть $y = \sqrt{\log_2 x}$, тогда:

$$2y^2 — 3y + 1 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1;$$ $$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = 1;$$

Первое значение:

$$\sqrt{\log_2 x} = \frac{1}{2};$$ $$\log_2 x = \frac{1}{4};$$ $$x = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2};$$

Второе значение:

$$\sqrt{\log_2 x} = 1;$$ $$\log_2 x = 1;$$ $$x = 2^1 = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$ $$\log_2 x \geq 0;$$ $$\log_2 x \geq \log_2 2^0;$$ $$x \geq 1;$$

Ответ: $x = \sqrt[4]{2}, \, x = 2$.

4)

$$\log_x (2x^2 — 3x — 4) = 2;$$ $$\log_x (2x^2 — 3x — 4) = \log_x x^2;$$ $$2x^2 — 3x — 4 = x^2;$$ $$x^2 — 3x — 4 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25;$$ $$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0 \quad \text{и} \quad x \neq 1;$$

Выполним проверку:

$$\log_4 (2 \cdot 4^2 — 3 \cdot 4 — 4) = \log_4 (32 — 12 — 4) = \log_4 16 = 2;$$

Ответ: $x = 4$.

1)

Дано уравнение:

$$9 \cdot 4^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 9^{\frac{1}{x}}.$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение с помощью логарифмов и степеней

Мы заметим, что все основания в выражении можно выразить через степени числа 3 и 2:

• $4 = 2^2$,
• $6 = 2 \cdot 3$,
• $9 = 3^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$9 \cdot (2^2)^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot (3^2)^{\frac{1}{x}}.$$

Преобразуем степень:

$$9 \cdot 2^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot 2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 3^{\frac{2}{x}}.$$

Теперь, заметим, что в левой части у нас появляются одинаковые виды выражений. Таким образом, предположим, что $y = 2^{\frac{1}{x}}$, и следовательно, для всех выражений можно ввести соответствующие виды:

$$9y^2 + 5y — 4 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение:

$$9y^2 + 5y — 4 = 0.$$

Для этого используем дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-5 — 13}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1,$$ $$y_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}.$$

Шаг 3: Рассмотрим каждый случай для $y$

1. $y_1 = -1$

Если $y = -1$, то мы получаем:

$$2^{\frac{1}{x}} = -1.$$

Так как основание степени всегда положительное, то корней в этом случае нет.

2. $y_2 = \frac{4}{9}$

Если $y = \frac{4}{9}$, то:

$$2^{\frac{1}{x}} = \frac{4}{9}.$$

Теперь из этого уравнения можно выразить $\frac{1}{x}$:

$$\frac{1}{x} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}.$$

Ответ для задачи 1:

$$x = \frac{1}{2}.$$

2)

Дано уравнение:

$$\log_2 (x^2 — 3) — \log_2 (6x — 10) + 1 = 0.$$

Шаг 1: Применим свойства логарифмов

Используем свойства логарифмов для упрощения:

$$\log_2 \left( \frac{x^2 — 3}{6x — 10} \right) = \log_2 2^{-1}.$$

Так как $\log_2 2^{-1} = -1$, получаем:

$$\frac{x^2 — 3}{6x — 10} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 2: Решаем полученное уравнение

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2(x^2 — 3) = 6x — 10.$$

Раскроем скобки:

$$2x^2 — 6 — 6x + 10 = 0,$$ $$2x^2 — 6x + 4 = 0.$$

Шаг 3: Преобразуем в стандартную форму

Разделим на 2:

$$x^2 — 3x + 2 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 1}{2} = 1,$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2.$$

Шаг 4: Проверим, при каких значениях выражение имеет смысл

• $x^2 — 3 > 0$, то есть $x^2 > 3$, что дает $x > \sqrt{3}$ или $x < -\sqrt{3}$.
• $6x — 10 > 0$, то есть $3x > 5$, что дает $x > \frac{5}{3}$.

Таким образом, $x$ должно быть больше $\frac{5}{3}$. Следовательно, $x = 2$ является единственным допустимым корнем.

Ответ для задачи 2:

$$x = 2.$$

3)

Дано уравнение:

$$2 \log_2 x — 2 \log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{\log_2 x}.$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы

Используем свойство логарифмов, $\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_2 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}$:

$$2 \log_2 x — 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \sqrt{\log_2 x},$$ $$2 \log_2 x + 1 = 3 \sqrt{\log_2 x}.$$

Шаг 2: Введем новое обозначение

Пусть $y = \sqrt{\log_2 x}$, тогда $\log_2 x = y^2$. Подставим это в уравнение:

$$2y^2 + 1 = 3y.$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Переносим все в одну сторону:

$$2y^2 — 3y + 1 = 0.$$

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 — 1}{4} = \frac{1}{2},$$ $$y_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1.$$

Шаг 4: Восстанавливаем $\log_2 x$

• Если $y_1 = \frac{1}{2}$, то $\log_2 x = y_1^2 = \frac{1}{4}$, следовательно, $x = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$.
• Если $y_2 = 1$, то $\log_2 x = y_2^2 = 1$, следовательно, $x = 2^1 = 2$.

Шаг 5: Проверка условий

Выражение имеет смысл при $x > 0$. Также $\log_2 x \geq 0$, что дает $x \geq 1$.

Таким образом, $x = 2$ является допустимым решением, но $x = \sqrt[4]{2}$ не удовлетворяет условию $x \geq 1$.

Ответ для задачи 3:

$$x = 2.$$

4)

Дано уравнение:

$$\log_x (2x^2 — 3x — 4) = 2.$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмическое уравнение

Используем определение логарифма:

$$2x^2 — 3x — 4 = x^2.$$

Шаг 2: Решаем полученное уравнение

Переносим все на одну сторону:

$$2x^2 — 3x — 4 — x^2 = 0,$$ $$x^2 — 3x — 4 = 0.$$

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 5}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4.$$

Шаг 3: Проверка условия для логарифма

Логарифм существует, если $x > 0$ и $x \neq 1$. Из двух корней $x = -1$ и $x = 4$, только $x = 4$ подходит.

Ответ для задачи 4:

$$x = 4.$$

Ответы:

1. $x = \frac{1}{2}$
2. $x = 2$
3. $x = 2$
4. $x = 4$