ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1595 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. корень (x+3) — корень(2x-4) = корень (3x-2);
2. 1/(1- корень (1-x)) + 1/(1+ корень (1-x))= 2 корень 2/корень (1-x).

1) $\sqrt{x+3} — \sqrt{2x-4} = \sqrt{3x-2}$;

$$(x+3) — 2\sqrt{(x+3)(2x-4)} + (2x-4) = 3x-2;$$ $$x+3 + 2x-4 — 3x + 2 = 2\sqrt{(x+3)(2x-4)};$$ $$1 = 2\sqrt{(x+3)(2x-4)};$$ $$1 = 4(x+3)(2x-4);$$ $$4(2x^2 — 4x + 6x — 12) — 1 = 0;$$ $$8x^2 + 8x — 48 — 1 = 0;$$ $$8x^2 + 8x — 49 = 0;$$ $$D = 8^2 + 4 \cdot 8 \cdot 49 = 64 + 1568 = 1632 = 16 \cdot 102, \text{ тогда:}$$ $$x = \frac{-8 \pm \sqrt{1632}}{2 \cdot 8} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{102}}{16} = \frac{-2 \pm \sqrt{102}}{4};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x+3 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq -3;$$ $$2x-4 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq 2;$$ $$3x-2 \geq 0, \text{ отсюда } x \geq \frac{2}{3};$$

Значение числа под знаком корня:

$$100 < 102 < 121;$$ $$10 < \sqrt{102} < 11;$$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{102} — 2}{4}$.

2) $\frac{1}{1-\sqrt{1-x}} + \frac{1}{1+\sqrt{1-x}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}}$;

Пусть $y = \sqrt{1-x}$, тогда:

$$\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y} = \frac{2\sqrt{2}}{y} \quad | \cdot y(1-y)(1+y);$$ $$y(1+y) + y(1-y) = 2\sqrt{2}(1-y)(1+y);$$ $$y + y^2 + y — y^2 = 2\sqrt{2}(1-y^2);$$ $$2y = 2\sqrt{2} — 2\sqrt{2}y^2;$$ $$2\sqrt{2}y^2 + 2y — 2\sqrt{2} = 0 \quad | : \sqrt{2};$$ $$2y^2 + \sqrt{2}y — 2 = 0;$$ $$D = (\sqrt{2})^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 2 + 16 = 18 = 9 \cdot 2, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-\sqrt{2} — \sqrt{18}}{2 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{2} — 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2};$$ $$y_2 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{18}}{2 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Первое значение:

$$\sqrt{1-x} = -\sqrt{2} \quad \text{— корней нет;}$$

Второе значение:

$$\sqrt{1-x} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$1-x = \frac{2}{4};$$ $$x = 1 — \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$1-x > 0, \text{ отсюда } x < 1;$$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

1) $\sqrt{x+3} — \sqrt{2x-4} = \sqrt{3x-2}$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Для решения уравнения $\sqrt{x+3} — \sqrt{2x-4} = \sqrt{3x-2}$, начнем с того, что изначально избавимся от квадратных корней. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат.

Исходное уравнение:

$$\sqrt{x+3} — \sqrt{2x-4} = \sqrt{3x-2}$$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$\left( \sqrt{x+3} — \sqrt{2x-4} \right)^2 = \left( \sqrt{3x-2} \right)^2.$$

Слева раскрываем квадрат бинома, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$:

$$\left( \sqrt{x+3} \right)^2 — 2\sqrt{x+3}\cdot\sqrt{2x-4} + \left( \sqrt{2x-4} \right)^2 = (3x-2).$$

Упростим:

$$(x+3) — 2\sqrt{(x+3)(2x-4)} + (2x-4) = 3x-2.$$

Шаг 2: Упрощение и раскрытие скобок

Теперь упростим выражение:

$$x + 3 + 2x — 4 — 3x + 2 = 2\sqrt{(x+3)(2x-4)}.$$

Объединим подобные слагаемые:

$$x + 3 + 2x — 4 — 3x + 2 = 2\sqrt{(x+3)(2x-4)},$$ $$1 = 2\sqrt{(x+3)(2x-4)}.$$

Теперь избавимся от корня, возведя обе части уравнения в квадрат:

$$1^2 = 4(x+3)(2x-4),$$ $$1 = 4(x+3)(2x-4).$$

Шаг 3: Раскрытие скобок и упрощение

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:

$$4(2x^2 — 4x + 6x — 12) = 1,$$ $$4(2x^2 + 2x — 12) = 1.$$

Теперь умножим:

$$8x^2 + 8x — 48 = 1.$$

Переносим все в одну сторону:

$$8x^2 + 8x — 49 = 0.$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь решим полученное квадратное уравнение $8x^2 + 8x — 49 = 0$ с помощью дискриминанта.

Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае $a = 8$, $b = 8$, $c = -49$, тогда:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-49) = 64 + 1568 = 1632.$$

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{1632}}{16} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{102}}{16} = \frac{-2 \pm \sqrt{102}}{4}.$$

Шаг 5: Проверка на область допустимых значений

Теперь проверим, при каких значениях $x$ исходное выражение имеет смысл. Для того чтобы выражения под корнями были положительными, должны выполняться следующие условия:

1. $x + 3 \geq 0$, отсюда $x \geq -3$,
2. $2x — 4 \geq 0$, отсюда $x \geq 2$,
3. $3x — 2 \geq 0$, отсюда $x \geq \frac{2}{3}$.

Таким образом, для того чтобы выражение было допустимым, нужно, чтобы $x \geq 2$.

Теперь проверим значение выражения $\sqrt{102}$:

$$100 < 102 < 121,$$ $$10 < \sqrt{102} < 11.$$

Следовательно, $\sqrt{102}$ примерно равно между 10 и 11.

Ответ:

$$x = \frac{\sqrt{102} — 2}{4}.$$

2) $\frac{1}{1-\sqrt{1-x}} + \frac{1}{1+\sqrt{1-x}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}}$

Шаг 1: Подстановка $y = \sqrt{1-x}$

Для упрощения, подставим $y = \sqrt{1-x}$. Тогда выражение примет вид:

$$\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y} = \frac{2\sqrt{2}}{y}.$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Теперь, чтобы упростить, приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$$\frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y} = \frac{(1+y) + (1-y)}{(1-y)(1+y)} = \frac{2}{1 — y^2}.$$

Шаг 3: Умножение на $y(1-y)(1+y)$

Теперь умножим обе стороны на $y(1-y)(1+y)$ для устранения знаменателей:

$$y(1+y) + y(1-y) = 2\sqrt{2}(1-y^2).$$

Шаг 4: Упрощение

Теперь упростим выражение:

$$y + y^2 + y — y^2 = 2\sqrt{2}(1 — y^2),$$ $$2y = 2\sqrt{2} — 2\sqrt{2}y^2.$$

Переносим все на одну сторону:

$$2\sqrt{2}y^2 + 2y — 2\sqrt{2} = 0.$$

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение $2\sqrt{2}y^2 + 2y — 2\sqrt{2} = 0$. Для удобства разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$2y^2 + \sqrt{2}y — 2 = 0.$$

Найдем дискриминант:

$$D = (\sqrt{2})^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 2 + 16 = 18.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-\sqrt{2} — \sqrt{18}}{4} = \frac{-\sqrt{2} — 3\sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2},$$ $$y_2 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{18}}{4} = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 6: Нахождение $x$

Первый корень $y_1 = -\sqrt{2}$ не подходит, так как $\sqrt{1-x}$ не может быть отрицательным. Рассмотрим второй корень:

$$y = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Подставляем в выражение $y = \sqrt{1 — x}$:

$$1 — x = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$$ $$x = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{2}.$$