ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1594 Алимов — Подробные Ответы

Дана фигура, ограниченная кривой у — sin х и прямыми у = 0, х =пи/2(0 < =x < =пи/2). Под каким углом к оси Ох нужно провести прямую через точку (0; 0), чтобы эта прямая разбивала данную фигуру на две фигуры равной площади?

Дана фигура, ограниченная функциями:

$$f(x) = \sin x, \quad y = 0, \quad x = \frac{\pi}{2} \left( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \right);$$

Пересечение синусоиды с осью $Ox$ ($y = 0$):

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

На искомом отрезке: $x = 0$;

Площадь данной криволинейной трапеции:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = -\cos x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = -0 + 1 = 1;$$

Уравнение прямой, проходящей через точку $O(0; 0)$:

$$y = kx = \operatorname{tg} a \cdot x, \text{ где } a \text{ — искомый угол};$$

Прямая $y = kx$ должна образовывать с прямой $y = \frac{\pi}{2}$ и осью $Ox$ фигуру, площадь которой равна $\frac{1}{2}$, значит:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\operatorname{tg} a \cdot x) \, dx = \left( \operatorname{tg} a \cdot \frac{x^2}{2} \right)_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \operatorname{tg} a \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 : 2 — \operatorname{tg} a \cdot \frac{0^2}{2} = \operatorname{tg} a \cdot \frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{2};$$ $$\operatorname{tg} a = \frac{8}{2\pi^2} = \frac{4}{\pi^2}, \text{ отсюда } a = \operatorname{arctg} \frac{4}{\pi^2};$$

Ответ: $\operatorname{arctg} \frac{4}{\pi^2}$.

Дана фигура, ограниченная функциями:

$$f(x) = \sin x, \quad y = 0, \quad x = \frac{\pi}{2} \left( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \right);$$

Необходимо найти угол наклона прямой, которая проходит через начало координат и пересекает прямую $y = \frac{\pi}{2}$, так, чтобы площадь фигуры, образованной этой прямой и осями, равнялась $\frac{1}{2}$.

Шаг 1: Площадь криволинейной трапеции

Первая часть задачи связана с нахождением площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x) = \sin x$ на отрезке $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ и осью $Ox$ (то есть $y = 0$).

Для нахождения площади данной фигуры, нам нужно вычислить определенный интеграл от функции $\sin x$ на интервале $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$. Площадь фигуры будет равна:

$$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx.$$

Интегрируем функцию $\sin x$:

$$\int \sin x \, dx = -\cos x.$$

Теперь подставляем пределы интегрирования:

$$S = -\cos x \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = -0 + 1 = 1.$$

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 1.

Шаг 2: Уравнение прямой, проходящей через точку $O(0; 0)$

Теперь нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через начало координат $O(0; 0)$ и имеющей угол наклона $a$. Прямая будет пересекать ось $Ox$ и прямую $y = \frac{\pi}{2}$. Уравнение прямой, проходящей через точку $O(0; 0)$, можно записать в виде:

$$y = kx,$$

где $k$ — угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона $a$. То есть:

$$y = \operatorname{tg} a \cdot x.$$

Шаг 3: Условие для площади треугольника

Теперь мы знаем, что прямая $y = \operatorname{tg} a \cdot x$ должна образовывать фигуру, площадь которой равна $\frac{1}{2}$. Эта фигура — треугольник, ограниченный прямой $y = \operatorname{tg} a \cdot x$, прямой $y = \frac{\pi}{2}$, и осью $Ox$.

Площадь этого треугольника можно вычислить как определенный интеграл от функции $y = \operatorname{tg} a \cdot x$ на интервале $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$. Площадь треугольника будет равна:

$$S_{\text{triangle}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\operatorname{tg} a \cdot x) \, dx.$$

Вычислим этот интеграл:

$$\int (\operatorname{tg} a \cdot x) \, dx = \operatorname{tg} a \cdot \frac{x^2}{2}.$$

Теперь подставим пределы интегрирования $0$ и $\frac{\pi}{2}$:

$$S_{\text{triangle}} = \operatorname{tg} a \cdot \frac{\left( \frac{\pi}{2} \right)^2}{2} — \operatorname{tg} a \cdot \frac{0^2}{2} = \operatorname{tg} a \cdot \frac{\pi^2}{8}.$$

Мы знаем, что площадь фигуры должна быть равна $\frac{1}{2}$, поэтому приравняем площадь к $\frac{1}{2}$:

$$\operatorname{tg} a \cdot \frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{2}.$$

Решим это уравнение для $\operatorname{tg} a$:

$$\operatorname{tg} a = \frac{8}{2\pi^2} = \frac{4}{\pi^2}.$$

Таким образом, угол наклона прямой $a$ можно найти как арктангенс от $\frac{4}{\pi^2}$:

$$a = \operatorname{arctg} \frac{4}{\pi^2}.$$

Ответ:

$$a = \operatorname{arctg} \frac{4}{\pi^2}.$$