ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1591 Алимов — Подробные Ответы

Графику функции $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ принадлежат точки $A$ и $B$, симметричные относительно прямой $x = -2$. Касательные к этому графику в точках $A$ и $B$ параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку $(0; 1)$, а другая — через точку $(0; 5)$. Найти значения $a$, $b$, $c$.

Дана функция:

$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c;$$

Пусть точки $A$ и $B$, симметричные относительно прямой $x = -2$, лежат на расстоянии $l$ от нее, тогда координаты точек:

$$A(-2-l; f(-2-l)) \quad \text{и} \quad B(l-2; f(l-2));$$

Производная функции:

$$f'(x) = (x^3)’ + a(x^2)’ + (bx + c)’ = 3x^2 + 2ax + b;$$

Касательные в точках $A$ и $B$ параллельны, значит:

$$3(-2-l)^2 + 2a(-2-l) + b = 3(l-2)^2 + 2a(l-2) + b;$$ $$3(l+2)^2 — 4a — 2al = 3(l-2)^2 + 2al — 4a;$$ $$3(l^2 + 4l + 4) — 2al = 3(l^2 — 4l + 4) + 2al;$$ $$3l^2 + 12l + 12 — 2al = 3l^2 — 12l + 12 + 2al;$$ $$12l + 12l — 2al — 2al = 0;$$ $$24l — 4al = 0;$$ $$6l — al = 0;$$ $$l(6 — a) = 0, \quad \text{отсюда } a = 6; \quad (\text{l не может быть равным нулю});$$

Уравнение касательной в точке $t$:

$$f'(t) = 3t^2 + 2 \cdot 6t + b = 3t^2 + 12t + b;$$ $$f(t) = t^3 + 6t^2 + bt + c;$$ $$y = t^3 + 6t^2 + bt + c + (3t^2 + 12t + b)(x — t);$$ $$y = t^3 + 6t^2 + bt + c + 3t^2x + 12tx + bx — 3t^3 — 12t^2 — bt;$$ $$y = bx + c — 2t^3 + 3t^2x — 6t^2 + 12tx;$$

Обе касательные проходят через точку с абсциссой, равной нулю:

$$y = b \cdot 0 + c — 2t^3 + 3t^2 \cdot 0 — 6t^2 + 12t \cdot 0;$$ $$y = c — 2t^3 — 6t^2;$$

Пусть касательная в точке $A$ проходит через точку $(0; 1)$:

$$1 = c — 2(-2-l)^3 — 6(-2-l)^2;$$ $$1 = c — 2(-8 — 3 \cdot 4l — 3 \cdot 2l^2 — l^3) — 6(4 + 4l + l^2);$$ $$1 = c + 16 + 24l + 12l^2 + 2l^3 — 24 — 24l — 6l^2;$$ $$c + 2l^3 + 6l^2 — 9 = 0;$$ $$c = -2l^3 — 6l^2 + 9;$$

Пусть касательная в точке $B$ проходит через точку $(0; 5)$:

$$5 = c — 2(l-2)^3 — 6(l-2)^2;$$ $$5 = c — 2(l^3 — 3l^2 \cdot 2 + 3l \cdot 4 — 8) — 6(l^2 — 4l + 4);$$ $$5 = c — 2l^3 + 12l^2 — 24l + 16 — 6l^2 + 24l — 24;$$ $$c — 2l^3 + 6l^2 — 13 = 0;$$ $$c = 2l^3 — 6l^2 + 13;$$

Найдем значение $l$:

$$-2l^3 — 6l^2 + 9 = 2l^3 — 6l^2 + 13;$$ $$-4l^3 = 4;$$ $$l^3 = -1, \quad \text{отсюда } l = -1;$$

Найдем значение $c$:

$$c = 2 \cdot (-1)^3 — 6 \cdot (-1)^2 + 13 = -2 — 6 + 13 = 5;$$

Координаты точки $A$:

$$-2 — l = -2 + 1 = -1;$$ $$f(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 5;$$ $$f(-1) = -1 + 6 — b + 5 = 10 — b;$$ $$A(-1; 10 — b);$$

Координаты точки $B$:

$$l — 2 = -1 — 2 = -3;$$ $$f(-3) = (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) + 5;$$ $$f(-3) = -27 + 54 — 3b + 5 = 32 — 3b;$$ $$B(-3; 32 — 3b);$$

Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $x = -2$, значит:

$$10 — b = 32 — 3b;$$ $$2b = 22, \quad \text{отсюда } b = 11;$$

Ответ: $a = 6; \, b = 11; \, c = 5.$

Дана функция:

$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c;$$

Пусть точки $A$ и $B$, симметричные относительно прямой $x = -2$, лежат на расстоянии $l$ от этой прямой. Необходимо найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$, а также координаты точек $A$ и $B$, при которых касательные к графику функции в точках $A$ и $B$ параллельны.

Шаг 1: Выражение для точек $A$ и $B$

Поскольку точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $x = -2$, то их координаты можно выразить как:

• $A(-2 — l; f(-2 — l))$,
• $B(-2 + l; f(-2 + l))$.

Здесь $l$ — расстояние от точек $A$ и $B$ до прямой $x = -2$.

Шаг 2: Производная функции

Для нахождения уравнений касательных, нам потребуется производная функции $f(x)$. Мы вычисляем производную функции $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + ax^2 + bx + c) = 3x^2 + 2ax + b.$$

Таким образом, производная функции $f'(x)$ равна:

$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b.$$

Эта производная даст угловые коэффициенты касательных в точках $A$ и $B$.

Шаг 3: Условие параллельности касательных

Так как касательные в точках $A$ и $B$ параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равными. Угловые коэффициенты касательных в точках $A$ и $B$ можно найти, подставив значения $x = -2 — l$ и $x = -2 + l$ в производную функции $f'(x)$.

1. Угловой коэффициент касательной в точке $A$ равен $f'(-2 — l)$.
2. Угловой коэффициент касательной в точке $B$ равен $f'(-2 + l)$.

Приравняем эти угловые коэффициенты:

$$f'(-2 — l) = f'(-2 + l)$$

Подставим выражение для производной:

$$3(-2 — l)^2 + 2a(-2 — l) + b = 3(-2 + l)^2 + 2a(-2 + l) + b.$$

Шаг 4: Упростим уравнение

Теперь раскроем скобки и упростим выражения с обеих сторон.

Правая часть:

$$3(-2 + l)^2 + 2a(-2 + l) + b = 3(4 — 4l + l^2) + 2a(-2 + l) + b$$ $$= 3l^2 — 12l + 12 — 4a + 2al + b$$ $$= 3l^2 — 12l + 12 — 4a + 2al + b.$$

Левая часть:

$$3(-2 — l)^2 + 2a(-2 — l) + b = 3(4 + 4l + l^2) + 2a(-2 — l) + b$$ $$= 3l^2 + 12l + 12 — 4a — 2al + b.$$

Теперь приравняем обе части:

$$3l^2 + 12l + 12 — 4a — 2al + b = 3l^2 — 12l + 12 — 4a + 2al + b.$$

Шаг 5: Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение:

• Сначала уберем одинаковые члены с обеих сторон уравнения (термины с $3l^2$, $12$, $-4a$ и $b$ сокращаются):

$$12l — 2al = -12l + 2al.$$

Преобразуем уравнение:

$$12l + 12l = 4al.$$ $$24l = 4al.$$

Разделим обе части на $4l$ (предполагаем, что $l \neq 0$):

$$6 = a.$$

Таким образом, мы получаем, что $a = 6$.

Шаг 6: Нахождение $c$ и $b$

Теперь, зная, что $a = 6$, можно продолжить нахождение коэффициентов $b$ и $c$.

Уравнение касательной

Уравнение касательной в точке $t$ можно записать как:

$$y = f(t) + f'(t)(x — t),$$

где $f(t)$ — значение функции в точке $t$, а $f'(t)$ — значение производной в этой точке.

Подставим $a = 6$ в производную:

$$f'(x) = 3x^2 + 12x + b.$$

Теперь для точки $A(-2 — l)$ и $B(-2 + l)$ уравнение касательной будет следующим:

Для точки $A$:

$$y = f(-2 — l) + f'(-2 — l)(x — (-2 — l)).$$

Для точки $B$:

$$y = f(-2 + l) + f'(-2 + l)(x — (-2 + l)).$$

Так как обе касательные проходят через точку с абсциссой, равной нулю, подставим $x = 0$ в уравнение для каждой касательной.

Касательная в точке $A$:

Предположим, что касательная в точке $A$ проходит через точку $(0; 1)$, тогда:

$$1 = c — 2(-2 — l)^3 — 6(-2 — l)^2.$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$1 = c + 16 + 24l + 12l^2 + 2l^3 — 24 — 24l — 6l^2.$$ $$c + 2l^3 + 6l^2 — 9 = 0.$$ $$c = -2l^3 — 6l^2 + 9.$$

Касательная в точке $B$:

Предположим, что касательная в точке $B$ проходит через точку $(0; 5)$, тогда:

$$5 = c — 2(l-2)^3 — 6(l-2)^2.$$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$5 = c — 2l^3 + 12l^2 — 24l + 16 — 6l^2 + 24l — 24.$$ $$c — 2l^3 + 6l^2 — 13 = 0.$$ $$c = 2l^3 — 6l^2 + 13.$$

Шаг 7: Найдем значение $l$

Приравняем выражения для $c$:

$$-2l^3 — 6l^2 + 9 = 2l^3 — 6l^2 + 13.$$

Переносим все в одну сторону:

$$-4l^3 = 4.$$

Решаем:

$$l^3 = -1, \quad \text{отсюда } l = -1.$$

Шаг 8: Найдем значение $c$

Подставим $l = -1$ в одно из выражений для $c$:

$$c = 2(-1)^3 — 6(-1)^2 + 13 = -2 — 6 + 13 = 5.$$

Шаг 9: Координаты точек $A$ и $B$

Теперь найдем координаты точек $A$ и $B$.

1. Координаты точки $A$:

   $$-2 — l = -2 + 1 = -1.$$ $$f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + b(-1) + 5 = -1 + 6 — b + 5 = 10 — b.$$

   Таким образом, координаты точки $A$ равны $A(-1; 10 — b)$.

2. Координаты точки $B$:

   $$l — 2 = -1 — 2 = -3.$$ $$f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + b(-3) + 5 = -27 + 54 — 3b + 5 = 32 — 3b.$$

   Таким образом, координаты точки $B$ равны $B(-3; 32 — 3b)$.

Шаг 10: Симметричность точек

Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $x = -2$, значит их $y$-координаты должны удовлетворять следующему равенству:

$$10 — b = 32 — 3b.$$

Решим это уравнение:

$$2b = 22, \quad \text{отсюда } b = 11.$$

Ответ:

$$a = 6, \quad b = 11, \quad c = 5.$$