ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1590 Алимов — Подробные Ответы

Графику функции у = -х3 + ах2 + bх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6). Найти значения а, b, с.

Дана функция:

$$f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c;$$

Пусть точки $A$ и $B$, симметричные относительно прямой $x = 2$, лежат на расстоянии $l$ от нее, тогда координаты точек:

$$A(2 — l; f(2 — l)) \text{ и } B(2 + l; f(2 + l));$$

Производная функции:

$$f'(x) = -(x^3)’ + a(x^2)’ + (bx + c)’ = -3x^2 + 2ax + b;$$

Касательные в точках $A$ и $B$ параллельны, значит:

$$-3(2 — l)^2 + 2a(2 — l) + b = -3(2 + l)^2 + 2a(2 + l) + b;$$ $$-3(4 — 4l + l^2) + 4a — 2al = -3(4 + 4l + l^2) + 4a + 2al;$$ $$-12 + 12l — 3l^2 — 2al = -12 — 12l — 3l^2 + 2al;$$ $$12l + 12l — 2al — 2al = 0;$$ $$24l — 4al = 0;$$ $$6l — al = 0;$$ $$l(6 — a) = 0, \text{отсюда } a = 6;$$ $$(l \text{ не может быть равным нулю});$$

Уравнение касательной в точке $t$:

$$f'(t) = -3t^2 + 2 \cdot 6t + b = -3t^2 + 12t + b;$$ $$f(t) = -t^3 + 6t^2 + bt + c;$$ $$y = -t^3 + 6t^2 + bt + c + (-3t^2 + 12t + b)(x — t);$$ $$y = -t^3 + 6t^2 + bt + c — 3t^2x + 12tx + bx + 3t^3 — 12t^2 — bt;$$ $$y = bx + c + 2t^3 — 3t^2x — 6t^2 + 12tx;$$

Обе касательные проходят через точку с абсциссой, равной нулю:

$$y = b \cdot 0 + c + 2t^3 — 3t^2 \cdot 0 — 6t^2 + 12t \cdot 0;$$ $$y = c + 2t^3 — 6t^2;$$

Пусть касательная в точке $A$ проходит через точку $(0; 2)$:

$$2 = c + 2(2 — l)^3 — 6(2 — l)^2;$$ $$2 = c + 2(8 — 3 \cdot 4l + 3 \cdot 2l^2 — l^3) — 6(4 — 4l + l^2);$$ $$2 = c + 16 — 24l + 12l^2 — 2l^3 — 24 + 24l — 6l^2;$$ $$c — 2l^3 + 6l^2 — 10 = 0;$$ $$c = 2l^3 — 6l^2 + 10;$$

Пусть касательная в точке $B$ проходит через точку $(0; 6)$:

$$6 = c + 2(2 + l)^3 — 6(2 + l)^2;$$ $$6 = c + 2(8 + 3 \cdot 4l + 3 \cdot 2l^2 + l^3) — 6(4 + 4l + l^2);$$ $$6 = c + 16 + 24l + 12l^2 + 2l^3 — 24 — 24l — 6l^2;$$ $$c + 2l^3 + 6l^2 — 14 = 0;$$ $$c = -2l^3 — 6l^2 + 14;$$

Найдем значение $l$:

$$2l^3 — 6l^2 + 10 = -2l^3 — 6l^2 + 14;$$ $$4l^3 = 4;$$ $$l^3 = 1, \text{отсюда } l = 1;$$

Найдем значение $c$:

$$c = 2 \cdot 1^3 — 6 \cdot 1^2 + 10 = 2 — 6 + 10 = 6;$$

Координаты точки $A$:

$$2 — l = 2 — 1 = 1;$$ $$f(1) = -1^3 + 6 \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 6 = -1 + 6 + b + 6 = b + 11;$$ $$A(1; b + 11);$$

Координаты точки $B$:

$$2 + l = 2 + 1 = 3;$$ $$f(3) = -3^3 + 6 \cdot 3^2 + b \cdot 3 + 6 = -27 + 54 + 3b + 6 = 3b + 33;$$ $$B(3; 3b + 33);$$

Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $x = 2$, значит:

$$b + 11 = 3b + 33;$$ $$-2b = 22, \text{отсюда } b = -11;$$

Ответ: $a = 6; \, b = -11; \, c = 6.$

Дана функция:

$$f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c;$$

Пусть точки $A$ и $B$, симметричные относительно прямой $x = 2$, лежат на расстоянии $l$ от нее. Тогда координаты точек $A$ и $B$ можно выразить как:

$$A(2 — l; f(2 — l)) \quad \text{и} \quad B(2 + l; f(2 + l));$$

Задача заключается в нахождении значений коэффициентов $a$, $b$, и $c$, при которых касательные к графику функции в точках $A$ и $B$ будут параллельны, а также нахождении координат точек $A$ и $B$.

Шаг 1: Производная функции $f(x)$

Для нахождения уравнений касательных к графику функции, сначала вычислим производную $f'(x)$.

$$f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$$

Вычисляем производную по стандартным правилам дифференцирования:

$$f'(x) = -(x^3)’ + a(x^2)’ + (bx)’ + (c)’ = -3x^2 + 2ax + b$$

Таким образом, производная функции $f'(x)$ равна:

$$f'(x) = -3x^2 + 2ax + b$$

Эта производная даст нам угловые коэффициенты касательных в точках $A$ и $B$.

Шаг 2: Условие параллельности касательных

Поскольку точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $x = 2$, касательные в этих точках будут иметь одинаковые угловые коэффициенты. Таким образом, угловые коэффициенты касательных в точках $A$ и $B$ должны быть равными.

1. Касательная в точке $A(2 — l; f(2 — l))$ имеет угловой коэффициент $f'(2 — l)$.
2. Касательная в точке $B(2 + l; f(2 + l))$ имеет угловой коэффициент $f'(2 + l)$.

Приравняем эти угловые коэффициенты, так как касательные параллельны:

$$f'(2 — l) = f'(2 + l)$$

Подставим выражение для производной:

$$-3(2 — l)^2 + 2a(2 — l) + b = -3(2 + l)^2 + 2a(2 + l) + b$$

Теперь раскроем скобки и упростим обе стороны уравнения.

Правая часть:

$$-3(2 + l)^2 + 2a(2 + l) + b = -3(4 + 4l + l^2) + 4a + 2al + b$$ $$= -12 — 12l — 3l^2 + 4a + 2al + b$$

Левая часть:

$$-3(2 — l)^2 + 2a(2 — l) + b = -3(4 — 4l + l^2) + 4a — 2al + b$$ $$= -12 + 12l — 3l^2 + 4a — 2al + b$$

Теперь приравняем левые и правые части:

$$-12 + 12l — 3l^2 + 4a — 2al + b = -12 — 12l — 3l^2 + 4a + 2al + b$$

Упростим уравнение:

$$12l — 2al = -12l + 2al$$ $$12l + 12l = 4al$$ $$24l = 4al$$ $$6l = al$$

Разделим обе части на $l$ (при этом $l \neq 0$):

$$6 = a$$

Таким образом, мы находим, что $a = 6$.

Шаг 3: Найдем $c$ и $b$

Теперь, зная, что $a = 6$, продолжим искать $b$ и $c$.

Уравнение касательной

Для нахождения $b$ и $c$ нам нужно составить уравнение касательной в одной из точек, например, в точке $A$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $t$ (общее уравнение касательной) имеет вид:

$$y = f(t) + f'(t)(x — t)$$

где $f(t)$ — значение функции в точке $t$, а $f'(t)$ — производная функции в этой точке.

Подставим $a = 6$ в производную $f'(x)$:

$$f'(x) = -3x^2 + 12x + b$$

Теперь для точки $A(2 — l)$ и $B(2 + l)$, уравнение касательной будет выглядеть следующим образом:

Для точки $A$:

$$y = f(2 — l) + f'(2 — l)(x — (2 — l))$$

Для точки $B$:

$$y = f(2 + l) + f'(2 + l)(x — (2 + l))$$

Так как обе касательные проходят через точку с абсциссой, равной нулю, подставим $x = 0$ в уравнение для каждой касательной.

Касательная в точке $A$:

Для точки $A$ предположим, что касательная проходит через точку $(0; 2)$, тогда:

$$2 = f(2 — l) + f'(2 — l)(0 — (2 — l))$$

Из этого уравнения найдем выражение для $c$. Аналогичные шаги проделаем для точки $B$, если касательная проходит через точку $(0; 6)$.

Решая системы уравнений для $c$ и $b$, мы находим:

$$c = 6, \quad b = -11.$$

Шаг 4: Проверка решения

Подставим значения $a = 6$, $b = -11$, и $c = 6$ в выражения для координат точек $A$ и $B$.

Координаты точки $A$:

$$A(1; b + 11) = A(1; -11 + 11) = A(1; 0).$$

Координаты точки $B$:

$$B(3; 3b + 33) = B(3; 3(-11) + 33) = B(3; -33 + 33) = B(3; 0).$$

Точки $A$ и $B$ находятся на одинаковом уровне, что подтверждает правильность нашего решения.

Ответ:

$$a = 6, \quad b = -11, \quad c = 6.$$