ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 159 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (1-2x) — корень (13+x) = корень (x+4);
2. корень (7x+1) — корень (6-x) = корень (15+2x).

1)

$$\sqrt{1 — 2x} — \sqrt{13 + x} = \sqrt{x + 4};$$

$$1 — 2x — 2\sqrt{(1 — 2x)(13 + x)} + 13 + x = x + 4;$$

$$10 — 2x = 2\sqrt{13 + x — 26x — 2x^2};$$

$$5 — x = \sqrt{13 — 25x — 2x^2};$$

$$25 — 10x + x^2 = 13 — 25x — 2x^2;$$

$$3x^2 + 15x + 12 = 0;$$

$$x^2 + 5x + 4 = 0;$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = 1;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{1 — 2 \cdot 4} — \sqrt{13 — 4} — \sqrt{-4 + 4} = \sqrt{9} — \sqrt{9} — \sqrt{0} = 0;$$

$$\sqrt{1 — 2 \cdot 1} — \sqrt{13 + 1} — \sqrt{1 + 4} = \sqrt{-1} … \text{— не имеет смысла};$$

Ответ:

$x = -4$

.

2)

$$\sqrt{7x + 1} — \sqrt{6 — x} = \sqrt{15 + 2x};$$

$$7x + 1 — 2\sqrt{(7x + 1)(6 — x)} + 6 — x = 15 + 2x;$$

$$4x — 8 = 2\sqrt{42x — 7x^2 + 6 — x};$$

$$2x — 4 = \sqrt{41x — 7x^2 + 6};$$

$$4x^2 — 16x + 16 = 41x — 7x^2 + 6;$$

$$11x^2 — 57x + 10 = 0;$$

$$D = 57^2 — 4 \cdot 11 \cdot 10 = 3249 — 440 = 2809, \text{ тогда:}$$

$$x_1 = \frac{57 — 53}{2 \cdot 11} = \frac{4}{2 \cdot 11} = \frac{2}{11};$$

$$x_2 = \frac{57 + 53}{2 \cdot 11} = \frac{110}{2 \cdot 11} = \frac{10}{2} = 5;$$

Выполним проверку:

$$\sqrt{7 \cdot \frac{2}{11} + 1} — \sqrt{6 — \frac{2}{11}} — \sqrt{15 + 2 \cdot \frac{2}{11}} = \sqrt{\frac{25}{11}} — \sqrt{\frac{64}{11}} — \sqrt{\frac{169}{11}} = -\frac{16}{\sqrt{11}};$$

$$\sqrt{7 \cdot 5 + 1} — \sqrt{6 — 5} — \sqrt{15 + 2 \cdot 5} = \sqrt{36} — \sqrt{1} — \sqrt{25} = 6 — 1 — 5 = 0;$$

Ответ:

$x = 5$

.

$$\boxed{x = -4; \, x = 5}$$

1)
Задана задача:

$$\sqrt{1 — 2x} — \sqrt{13 + x} = \sqrt{x + 4};$$

Рассмотрим решение:

Преобразуем исходное уравнение. Для этого возведем обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{1 — 2x} — \sqrt{13 + x})^2 = (\sqrt{x + 4})^2.$$

Получаем:

$$(1 — 2x) — 2\sqrt{(1 — 2x)(13 + x)} + (13 + x) = x + 4;$$

Упростим выражение:

$$1 — 2x + 13 + x — 2\sqrt{(1 — 2x)(13 + x)} = x + 4.$$

Получаем:

$$10 — 2x = 2\sqrt{13 + x — 26x — 2x^2}.$$

Разделим обе стороны на 2:

$$5 — x = \sqrt{13 — 25x — 2x^2}.$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$(5 — x)^2 = (13 — 25x — 2x^2).$$

Раскроем скобки:

$$25 — 10x + x^2 = 13 — 25x — 2x^2.$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$25 — 10x + x^2 — 13 + 25x + 2x^2 = 0.$$

Упрощаем:

$$3x^2 + 15x + 12 = 0.$$

Разделим на 3:

$$x^2 + 5x + 4 = 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.$$

Находим корни уравнения с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-5 — 3}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = 1.$$

Выполним проверку корней.

Для

$x = -4$

:

$$\sqrt{1 — 2 \cdot (-4)} — \sqrt{13 — 4} — \sqrt{-4 + 4} = \sqrt{9} — \sqrt{9} — \sqrt{0} = 3 — 3 — 0 = 0.$$

Для

$x = 1$

:

$$\sqrt{1 — 2 \cdot 1} — \sqrt{13 + 1} — \sqrt{1 + 4} = \sqrt{-1} — \sqrt{14} — \sqrt{5}.$$

Так как

$\sqrt{-1}$

не имеет смысла в области действительных чисел, то

$x = 1$

не является решением.

Ответ:

$x = -4$

.

2)
Задано следующее уравнение:

$$\sqrt{7x + 1} — \sqrt{6 — x} = \sqrt{15 + 2x}.$$

Рассмотрим решение:

Возведем обе стороны в квадрат:

$$(\sqrt{7x + 1} — \sqrt{6 — x})^2 = (\sqrt{15 + 2x})^2.$$

Получаем:

$$(7x + 1) — 2\sqrt{(7x + 1)(6 — x)} + (6 — x) = 15 + 2x.$$

Упростим выражение:

$$7x + 1 + 6 — x — 2\sqrt{(7x + 1)(6 — x)} = 15 + 2x.$$

Получаем:

$$4x — 8 = 2\sqrt{42x — 7x^2 + 6 — x}.$$

Разделим обе стороны на 2:

$$2x — 4 = \sqrt{41x — 7x^2 + 6}.$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$(2x — 4)^2 = 41x — 7x^2 + 6.$$

Раскроем скобки:

$$4x^2 — 16x + 16 = 41x — 7x^2 + 6.$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$4x^2 — 16x + 16 — 41x + 7x^2 — 6 = 0.$$

Упрощаем:

$$11x^2 — 57x + 10 = 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = (-57)^2 — 4 \cdot 11 \cdot 10 = 3249 — 440 = 2809.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{57 — 53}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11},$$

$$x_2 = \frac{57 + 53}{2 \cdot 11} = \frac{110}{22} = 5.$$

Выполним проверку.

Для

$x = \frac{2}{11}$

:

$$\sqrt{7 \cdot \frac{2}{11} + 1} — \sqrt{6 — \frac{2}{11}} — \sqrt{15 + 2 \cdot \frac{2}{11}} = \sqrt{\frac{25}{11}} — \sqrt{\frac{64}{11}} — \sqrt{\frac{169}{11}} = -\frac{16}{\sqrt{11}}.$$

Это значение не равно нулю, поэтому

$x = \frac{2}{11}$

не является решением.

Для

$x = 5$

:

$$\sqrt{7 \cdot 5 + 1} — \sqrt{6 — 5} — \sqrt{15 + 2 \cdot 5} = \sqrt{36} — \sqrt{1} — \sqrt{25} = 6 — 1 — 5 = 0.$$

Ответ:

$x = 5$

.

Итоговый ответ:

$$\boxed{x = -4; \, x = 5}$$