ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1589 Алимов — Подробные Ответы

Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии 1 мили. Корабль А идёт на юг, делая 3 мили в час, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля В, который идёт на запад со скоростью 4 мили в час. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приёма сигнала?

Пусть $l$ м — расстояние между кораблями и $t$ ч — время, прошедшее с начала наблюдения;

Корабль $A$ идет на юг со скоростью 3 мили в час, а корабль $B$ находится в 5 милях к востоку от корабля $A$ и идет на запад со скоростью 4 мили в час, значит расстояние между кораблями изменяется по закону:

$$l(t) = \sqrt{(3t)^2 + (5 — 4t)^2} = \sqrt{9t^2 + 25 — 40t + 16t^2} = \sqrt{25t^2 — 40t + 25};$$

Производная функции:
Пусть $u = 25t^2 — 40t + 25$, тогда $l(u) = \sqrt{u}$;

$$l'(t) = (25t^2 — 40t + 25) \cdot (\sqrt{u}) = (25 \cdot 2t — 40) \cdot \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{25t — 20}{\sqrt{25t^2 — 40t + 25}};$$

Промежуток возрастания:

$$25t — 20 > 0;$$ $$5t — 4 > 0;$$ $$5t > 4, \text{отсюда } t > \frac{4}{5};$$

Искомые значения:

$$t = \frac{4}{5} \text{ — точка минимума; }$$ $$l\left(\frac{4}{5}\right) = \sqrt{25 \cdot \frac{16}{25} — 40 \cdot \frac{4}{5} + 25} = \sqrt{16 — 32 + 25} = \sqrt{9} = 3 \text{ (мили); }$$ $$3 > 1, \text{значит корабли не будут на достаточном расстоянии; }$$

Ответ: не будут, так как минимальное расстояние между ними 3 мили.

Пусть $l(t)$ — расстояние между двумя кораблями $A$ и $B$, где:

• $t$ — время в часах с начала наблюдения,
• Корабль $A$ движется на юг со скоростью 3 мили в час,
• Корабль $B$ движется на запад со скоростью 4 мили в час, и он находится в 5 милях к востоку от корабля $A$.

Нужно определить, будет ли расстояние между кораблями в какой-то момент времени меньше 1 мили.

Шаг 1: Математическая модель задачи

Нам нужно выразить расстояние между двумя кораблями как функцию времени $l(t)$.

1. Пусть $t$ — время, прошедшее с начала наблюдения.
2. Корабль $A$ двигается на юг со скоростью 3 мили в час. После $t$ часов его расстояние от начальной точки будет $3t$ миль.
3. Корабль $B$ изначально находится в 5 милях к востоку от корабля $A$ и движется на запад со скоростью 4 мили в час. Через $t$ часов его расстояние от исходной точки будет $5 — 4t$ миль.

Тогда, расстояние между кораблями на момент времени $t$ можно выразить с использованием теоремы Пифагора, так как движение каждого корабля происходит по прямой:

$$l(t) = \sqrt{(3t)^2 + (5 — 4t)^2}.$$

Теперь упростим выражение для расстояния $l(t)$:

$$l(t) = \sqrt{9t^2 + (25 — 40t + 16t^2)} = \sqrt{9t^2 + 25 — 40t + 16t^2}.$$

Далее, объединим подобные слагаемые:

$$l(t) = \sqrt{25t^2 — 40t + 25}.$$

Таким образом, мы получили функцию расстояния между кораблями $l(t)$.

Шаг 2: Нахождение производной для анализа изменения расстояния

Для того чтобы понять, когда расстояние между кораблями минимально, нам нужно найти производную функции $l(t)$.

1. Пусть $u = 25t^2 — 40t + 25$, тогда $l(t) = \sqrt{u}$.
2. По формуле производной для корня, имеем:

$$l'(t) = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{u} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dt}.$$

Теперь найдем $\frac{du}{dt}$:

$$\frac{du}{dt} = 50t — 40.$$

Таким образом, производная $l'(t)$ будет равна:

$$l'(t) = \frac{50t — 40}{2\sqrt{25t^2 — 40t + 25}} = \frac{25t — 20}{\sqrt{25t^2 — 40t + 25}}.$$

Шаг 3: Анализ знака производной

Для того чтобы понять, в какой момент времени расстояние между кораблями минимально, нужно проанализировать, когда производная $l'(t)$ меняет знак. Это происходит, когда числитель производной становится равным нулю.

Рассмотрим числитель:

$$25t — 20 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$t = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}.$$

Таким образом, $t = \frac{4}{5}$ — это точка, в которой производная равна нулю, то есть в момент времени $t = \frac{4}{5}$ достигается минимум.

Шаг 4: Вычисление минимального расстояния

Чтобы найти минимальное расстояние между кораблями, подставим $t = \frac{4}{5}$ в выражение для расстояния $l(t)$:

$$l\left( \frac{4}{5} \right) = \sqrt{25 \left( \frac{4}{5} \right)^2 — 40 \cdot \frac{4}{5} + 25}.$$

Посчитаем поэтапно:

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25}$,
2. $25 \cdot \frac{16}{25} = 16$,
3. $40 \cdot \frac{4}{5} = 32$,

Таким образом:

$$l\left( \frac{4}{5} \right) = \sqrt{16 — 32 + 25} = \sqrt{9} = 3.$$

Таким образом, минимальное расстояние между кораблями равно 3 мили.

Шаг 5: Ответ

Теперь нам нужно выяснить, будет ли минимальное расстояние между кораблями меньше 1 мили. Мы знаем, что минимальное расстояние равно 3 мили, что больше 1 мили.

Ответ: Корабли не будут на достаточном расстоянии, так как минимальное расстояние между ними 3 мили.