ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1585 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения 6, при каждом из которых функция f(x) = sin 2х — 8 (b + 2) cosx — (4b2 + 16b + 6) х является убывающей на всей числовой прямой и при этом не имеет стационарных точек.

Дана функция:

$$f(x) = \sin 2x — 8(b + 2)\cos x — (4b^2 + 16b + 6)x;$$

Производная функции:

$$f'(x) = (\sin 2x)’ — 8(b + 2)(\cos x)’ — (4b^2 + 16b + 6)(x)’;$$ $$f'(x) = 2\cos 2x + 8(b + 2)\sin x — (4b^2 + 16b + 6);$$

Функция убывает на всей числовой прямой при $f'(x) < 0$:

$$2\cos 2x + 8b\sin x + 16\sin x — 4b^2 — 16b — 6 < 0;$$ $$2b^2 — b(4\sin x — 8) — \cos 2x — 8\sin x + 3 < 0;$$ $$2b^2 — (4\sin x — 8)b — (\cos 2x + 8\sin x — 3) < 0;$$

$D \equiv (4\sin x — 8)^2 + 4 \cdot 2 \cdot (\cos 2x + 8\sin x — 3) =$

$$= 16\sin^2 x — 64\sin x + 64 + 8\cos 2x + 64\sin x — 24 =$$ $$= 16\sin^2 x + 40 + 8\cos 2x — 8\sin^2 x =$$ $$= 8\cos^2 x + 8\cos^2 x + 40 = 8 + 40 = 48 = 16 \cdot 3, \text{ тогда:}$$ $$b = \frac{(4\sin x — 8) \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 2} = \frac{4\sin x — 8 \pm 4\sqrt{3}}{4} = \sin x — 2 \pm \sqrt{3};$$ $$(b — (\sin x — 2 — \sqrt{3}))(b — (\sin x — 2 + \sqrt{3})) < 0;$$ $$b < \sin x — 2 — \sqrt{3} \text{ и } b > \sin x — 2 + \sqrt{3};$$

Решение неравенства не зависит от значения $x$ при:

$$b \leqslant -1 — 2 — \sqrt{3}, \text{ отсюда } b < -3 — \sqrt{3};$$ $$b > 1 — 2 + \sqrt{3}, \text{ отсюда } b > \sqrt{3} — 1;$$

Ответ: $b < -3 — \sqrt{3}; \, b > \sqrt{3} — 1.$

Найти значение $b$, при котором функция $f(x) = \sin 2x — 8(b + 2)\cos x — (4b^2 + 16b + 6)x$ убывает на всей числовой прямой. Для этого необходимо решить неравенство для производной функции $f'(x) < 0$.

Шаг 1: Находим производную функции

Функция:

$$f(x) = \sin 2x — 8(b + 2)\cos x — (4b^2 + 16b + 6)x$$

Чтобы найти производную функции, будем дифференцировать по стандартным правилам:

• Производная от $\sin 2x$ по $x$: по цепному правилу:

$$\frac{d}{dx} \sin 2x = 2 \cos 2x$$

• Производная от $-8(b + 2)\cos x$: используя стандартную производную от $\cos x$:

$$\frac{d}{dx} \left(-8(b + 2)\cos x\right) = 8(b + 2) \sin x$$

• Производная от $-(4b^2 + 16b + 6)x$ (линейная функция):

$$\frac{d}{dx} \left(-(4b^2 + 16b + 6)x\right) = -(4b^2 + 16b + 6)$$

Теперь сложим все производные:

$$f'(x) = 2 \cos 2x + 8(b + 2) \sin x — (4b^2 + 16b + 6)$$

Шаг 2: Условие убывания функции

Чтобы функция $f(x)$ убывала на всей числовой прямой, необходимо, чтобы производная функции была меньше нуля на всей числовой прямой:

$$f'(x) < 0$$

Подставим выражение для производной:

$$2 \cos 2x + 8(b + 2) \sin x — (4b^2 + 16b + 6) < 0$$

Это неравенство должно быть выполнено для всех значений $x$, то есть оно должно быть истинным для любого значения $x$, принадлежащего $(-\infty; +\infty)$. Для того чтобы это неравенство выполнялось на всей числовой прямой, коэффициенты перед $\cos 2x$ и $\sin x$ должны быть таковы, чтобы уравнение было выполнено на всех интервалах.

Шаг 3: Упростим выражение

Упростим полученное неравенство:

$$2 \cos 2x + 8b \sin x + 16 \sin x — 4b^2 — 16b — 6 < 0$$

Теперь упорядочим это выражение:

$$2b^2 — b(4 \sin x — 8) — \cos 2x — 8 \sin x + 3 < 0$$

Шаг 4: Решение для $b$

Для того чтобы решить неравенство, воспользуемся техникой преобразования квадратных выражений. Попробуем ввести вспомогательные величины и упростить выражение.

Обозначим $D$ как дискриминант для данной системы уравнений:

$$D \equiv (4 \sin x — 8)^2 + 4 \cdot 2 \cdot (\cos 2x + 8 \sin x — 3)$$

Давайте вычислим этот дискриминант:

$$D = 16 \sin^2 x — 64 \sin x + 64 + 8 \cos 2x + 64 \sin x — 24$$ $$D = 16 \sin^2 x + 40 + 8 \cos 2x — 8 \sin^2 x$$ $$D = 8 \cos^2 x + 8 \cos^2 x + 40 = 8 + 40 = 48 = 16 \cdot 3$$

Теперь найдём значения для $b$:

$$b = \frac{(4 \sin x — 8) \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \sin x — 8 \pm 4 \sqrt{3}}{4} = \sin x — 2 \pm \sqrt{3}$$

Шаг 5: Получение интервалов для $b$

Теперь решим неравенство:

$$(b — (\sin x — 2 — \sqrt{3}))(b — (\sin x — 2 + \sqrt{3})) < 0$$

Решение этого неравенства будет:

$$b < \sin x — 2 — \sqrt{3} \quad \text{и} \quad b > \sin x — 2 + \sqrt{3}$$

Шаг 6: Независимость от $x$

Для того чтобы решение не зависело от $x$, посмотрим, при каких значениях $b$ это неравенство выполняется на всей числовой прямой.

Решение не зависит от $x$ при следующих значениях $b$:

$$b \leqslant -1 — 2 — \sqrt{3}, \quad \text{отсюда} \quad b < -3 — \sqrt{3}$$ $$b > 1 — 2 + \sqrt{3}, \quad \text{отсюда} \quad b > \sqrt{3} — 1$$

Ответ:

$$b < -3 — \sqrt{3}; \, b > \sqrt{3} — 1.$$