ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1584 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что при -1 < = х < = 1 сумма arcsin х + arccos х равна С, где С — постоянная. Найти С.

Доказать, что при $-1 \leq x \leq 1$:

$$\arcsin x + \arccos x = C;$$

Преобразуем выражение:

$$\arcsin x = C — \arccos x;$$ $$\sin(\arcsin x) = \sin(C — \arccos x);$$ $$x = \sin(C — \arccos x);$$ $$x = \sin C \cdot \cos(\arccos x) — \cos C \cdot \sin(\arccos x);$$ $$x = x \cdot \sin C — \sqrt{1 — \cos^2(\arccos x)} \cdot \cos C;$$ $$x — x \cdot \sin C = -\sqrt{1 — x^2} \cdot \cos C;$$ $$x(\sin C — 1) = \sqrt{1 — x^2} \cdot \cos C;$$ $$x^2 (\sin^2 C — 2 \sin C + 1) = (1 — x^2) \cdot \cos^2 C;$$ $$x^2 \cdot \sin^2 C — 2x^2 \cdot \sin C + x^2 — \cos^2 C + x^2 \cdot \cos^2 C = 0;$$ $$x^2 \cdot (\sin^2 C + \cos^2 C) + x^2 — 2x^2 \cdot \sin C — \cos^2 C = 0;$$ $$2x^2 — 2x^2 \cdot \sin C — (1 — \sin^2 C) = 0;$$ $$2x^2 \cdot (1 — \sin C) — (1 — \sin C)(1 + \sin C) = 0;$$ $$(1 — \sin C)(2x^2 — (1 + \sin C)) = 0;$$

Уравнение имеет решение при:

$$1 — \sin C = 0;$$ $$\sin C = 1;$$ $$C = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Но при этом:

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad 0 \leq \arccos x \leq \pi;$$ $$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x + \arccos x \leq \frac{3\pi}{2};$$

Таким образом, существует значение $C = \frac{\pi}{2}$, при котором верно данное равенство, и при этом только одно, что и требовалось доказать.

Ответ: $C = \frac{\pi}{2}$.

Давайте подробно разберем все шаги для доказательства, что при $-1 \leq x \leq 1$:

$$\arcsin x + \arccos x = C;$$

Шаг 1: Определим выражение для $C$

Нам нужно доказать, что $\arcsin x + \arccos x = C$, где $C$ — некоторая постоянная величина, не зависящая от $x$. Для этого сначала преобразуем левую часть.

Пусть:

$$y = \arcsin x$$

Тогда:

$$\sin y = x \quad \text{и} \quad 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}.$$

Теперь, по определению функции арккосинуса, мы знаем, что:

$$\arccos x = \frac{\pi}{2} — \arcsin x.$$

Следовательно, для $\arcsin x + \arccos x$ получаем:

$$\arcsin x + \arccos x = y + \left(\frac{\pi}{2} — y\right) = \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом, мы видим, что $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ независимо от значения $x$ при условии, что $-1 \leq x \leq 1$.

Ответ: $C = \frac{\pi}{2}$.

Шаг 2: Подтверждение результата через преобразование

Рассмотрим более подробное доказательство с помощью преобразований:

1. Из того, что $\arcsin x = y$, имеем $\sin y = x$, где $0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.
2. Тогда $\arccos x = \frac{\pi}{2} — \arcsin x = \frac{\pi}{2} — y$.

Следовательно:

$$\arcsin x + \arccos x = y + \left(\frac{\pi}{2} — y\right) = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 3: Уточнение на интервале $-1 \leq x \leq 1$

Для значений $x$ в интервале $-1 \leq x \leq 1$ функции $\arcsin x$ и $\arccos x$ определены и ограничены. При этом:

• $\arcsin x$ принимает значения в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$,
• $\arccos x$ принимает значения в интервале $[0, \pi]$.

Для каждого значения $x$ на этом интервале сумма $\arcsin x + \arccos x$ всегда равна $\frac{\pi}{2}$.

Шаг 4: Заключение

Таким образом, мы доказали, что для $-1 \leq x \leq 1$ выполняется тождество:

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $C = \frac{\pi}{2}$.