ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1582 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество logb(а) * logc(b) * logd(с) = logd(a).

Доказать тождество:

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_d a;$$

Преобразуем левую часть тождества:

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \frac{\log_c a}{\log_c b} \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_c a \cdot \log_d c =$$ $$= \frac{\log_d a}{\log_d c} \cdot \log_d c = \log_d a;$$

Тождество доказано.

Давайте подробно разберем доказательство тождества:

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_d a.$$

Шаг 1. Преобразование каждого логарифма через логарифмы по общему основанию

Для начала, воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что любой логарифм можно выразить через логарифм с произвольным основанием. Мы будем использовать логарифм с основанием $c$, чтобы преобразовать все логарифмы. Это свойство выглядит так:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}.$$

Теперь применим это к каждому из логарифмов в левой части тождества.

$\log_b a$: Применим свойство логарифмов:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}.$$

$\log_c b$: Он уже в нужной форме, так что оставляем его как есть:

$$\log_c b.$$

$\log_d c$: Преобразуем его, используя логарифм с основанием $c$:

$$\log_d c = \frac{\log_c c}{\log_c d}.$$

Так как $\log_c c = 1$, то:

$$\log_d c = \frac{1}{\log_c d}.$$

Шаг 2. Подставляем все преобразования в исходное выражение

Теперь подставим все полученные выражения обратно в левую часть тождества:

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \left( \frac{\log_c a}{\log_c b} \right) \cdot \log_c b \cdot \frac{1}{\log_c d}.$$

Шаг 3. Упрощение

Теперь упростим это выражение. Заметим, что $\log_c b$ сокращается:

$$= \frac{\log_c a}{\log_c d}.$$

Шаг 4. Переписывание через логарифм с основанием $d$

Теперь преобразуем выражение $\frac{\log_c a}{\log_c d}$ в логарифм с основанием $d$. Мы используем тот факт, что:

$$\frac{\log_c a}{\log_c d} = \log_d a.$$

Таким образом, мы получаем:

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_d a.$$

Заключение

Мы доказали, что:

$$\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_d a.$$

Тождество доказано.